Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + m − 3 (m ≠ 1) có đồ thị là đường thẳng d.

a) Khi m = 0, hãy vẽ đồ thị hàm số trên;

b) Tìm m để d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1;

c) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với hai trục Ox, Oy. Tìm m để tam giác OAB cân.

Lời giải

a) Với m = 0 Þ y = − x − 3

Ta lập bảng:

Hàm số y = − x − 3 đi qua hai điểm M(0; −3) và N(−3; 0).

b) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

Þ 1 = (m − 1).0 + m − 3

Û 1 = m − 3

Û m = 4.

Vậy m = 4 thì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

c) Vì A là giao điểm của (d) với trục Ox nên y_A = 0.

Khi đó (m − 1)x_A + m − 3 = 0

\[ \Leftrightarrow {x_A} = - \frac{{m - 3}}{{m - 1}}\]

\( \Rightarrow OA = \left| { - \frac{{m - 3}}{{m - 1}}} \right|\;\left( {m \ne 1} \right)\)

B là giao điểm của (d) vưới trục Oy nên x_B = 0

Khi đó y_B = (m − 1).0 + m − 3 = m − 3

\[ \Rightarrow OB = \left| {m - 3} \right|\]

Để tam giác OAB cân tại O thì OA = OB

\[ \Leftrightarrow \left| { - \frac{{m - 3}}{{m - 1}}} \right| = \left| {m - 3} \right|\]

+) TH1:

\[ - \frac{{m - 3}}{{m - 1}} = m - 3\]

\( \Rightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right) = - \left( {m - 3} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0\]

Û m(m − 3) = 0

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\;\left( {TM} \right)\\m = 3\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]

+) TH2:

\[ - \frac{{m - 3}}{{m - 1}} = - \left( {m - 3} \right)\]

\( \Rightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right) = \left( {m - 3} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right) - \left( {m - 3} \right) = 0\]

Û (m − 2)(m − 3) = 0

\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\;\left( {TM} \right)\\m = 3\;\left( {TM} \right)\end{array} \right.\]

Vậy các giá trị của m thỏa mãn là m = 1; m = 2; m = 3.