Câu hỏi:
12/07/2024 4,519
Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua (O)), trên tia đối của BA lấy S, SC cắt đường tròn tại M thuộc cung nhỏ BC
a) Chứng minh ∆SMA ᔕ ∆SBC.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC, K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh tứ giác BMHK nội tiếp và HK // CD.
c) Chứng minh OK . OS = R2.
Cho đường tròn (O) bán kính R, đường kính AB, vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không đi qua (O)), trên tia đối của BA lấy S, SC cắt đường tròn tại M thuộc cung nhỏ BC
a) Chứng minh ∆SMA ᔕ ∆SBC.
b) Gọi H là giao điểm của MA và BC, K là giao điểm của MD và AB. Chứng minh tứ giác BMHK nội tiếp và HK // CD.
c) Chứng minh OK . OS = R2.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Xét ∆SMA và ∆SBC có:
\[\widehat S\] chung
\(\widehat {SAM} = \widehat {SCB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O))
Þ ∆SMA ᔕ ∆SBC (g.g)
b) Do CD ^ AB (giả thiết)
Þ AB là đường trung trực của CD (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Þ AC = AD (tính chất đường trung trực)
(hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
\( \Rightarrow \widehat {AMD} = \widehat {ABC}\) (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)
\( \Rightarrow \widehat {KBH} = \widehat {KMH}\).
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh KH nên suy ra BMHK nội tiếp.
c) Kẻ đường kính MN
Xét ∆AON và ∆BOM có:
OA = OB = R
\(\widehat {AON} = \widehat {BOM}\)
ON = OM = R
Þ ∆AON = ∆BOM (c.g.c)
Þ AN = BM (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
(hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
Ta có:
(tính chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn) (1)
(tính chất góc nội tiếp)
(2)
Mà (3)
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat {ASC} = \widehat {NMD}\) hay \[\widehat {OMK} = \widehat {OSM}\]
Xét ∆OKM và ∆OMS có:
\(\widehat {MOS}\) chung
\[\widehat {OMK} = \widehat {OSM}\] (cmt)
Þ ∆OKM ᔕ ∆OMS (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OS}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
Þ OK.OS = OM2 = R2.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O) \( \Rightarrow \widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \).
Xét tứ giác ABOC có:
\(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Hay A, B, O, C thuộc 1 đường tròn.
b) Ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) Þ AB = AC.
Mà OB = OC = R Þ OA là đường trung trực của BC hay OA ^ BC (1)
Xét ∆CBD nội tiếp (O) có BD là đường kính của (O).
Suy ra ∆CBD vuông tại C hay DC ^ BC (2)
Từ (1), (2) Þ DC // OA.
c) Ta có: DC // OA Þ CE // OA Þ OCEA là hình thang (3)
Ta có: \[\widehat {ODE} + \widehat {OBC} = 90^\circ \];
\(\widehat {OBC} + \widehat {BOA} = 90^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\).
Xét ∆BOA và ∆ODE có:
\(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\) (cmt)
\[\widehat {DOE} = \widehat {OBA} = 90^\circ \]
OB = OD = R
Þ ∆BOA = ∆ODE (g.c.g)
Þ AB = OE (hai cạnh tương ứng)
Mà AB = AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))
Suy ra OE = AC (4)
Từ (3) và (4) Þ OCEA là hình thang cân.
d) Ta có: \[\widehat {SOI} + \widehat {AOB} = 90^\circ \]
\(\widehat {AOB} + \widehat {OAB} = 90^\circ \)
\(\widehat {OAB} = \widehat {SAO}\)
Suy ra \(\widehat {SOA} = \widehat {SAO}\) Þ ∆SOA cân tại S
Lại có SI là đường trung tuyến \(\left( {OI = IA = \frac{{OA}}{2} = R} \right)\)
Suy ra SI ^ OA Þ KS ^ OA (5)
Ta có ∆KAS có \(\widehat {KAI} = \widehat {SAI}\)
AI ^ KS suy ra KI = SI.
Mà OI ^ AI
Suy ra OKAS là hình bình hành (6)
Từ (5) và (6) suy ra AKOS là hình thoi.
Ta có ∆OAB vuông tại A có OA = 2OD = 2R
\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \Rightarrow \tan \widehat {OAB} = \tan 30^\circ = \frac{{KI}}{{AI}}\]
\[ \Rightarrow KI = \tan 30^\circ .AI = \frac{{\sqrt 3 }}{3}R\]
\[ \Rightarrow KS = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}R\].
Vậy \[SAKOS = \frac{{OA.SK}}{2} = \frac{{2R.\frac{{2\sqrt 3 }}{3}R}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{R^2}.\]
Lời giải
Lời giải
M là điểm nằm trên đoạn AB và \(AM = \frac{1}{5}AB\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)
\( \Leftrightarrow \frac{4}{5}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.