Câu hỏi:

29/03/2023 909

Cho hàm số: y = x³ − 3mx² + 9x + 1, có đồ thị (Cm), với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (dm): y = x + 10 − 3m cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, B, C. Gọi k₁, k₂, k₃ là hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị của m để k₁ + k₂ + k₃ > 15.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

y = x³ − 3mx² + 9x + 1 Þ y' = 3x² − 6mx + 9.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và đường thẳng (dm) là:

x³ − 3mx² + 9x + 1 = x + 10 − 3m

Û x³ − 3mx² + 8x + 3m − 9 = 0

Û (x³ + 8x − 9) − (3mx² − 3m) = 0

Û (x − 1)(x² + x + 9) − 3m(x − 1)(x + 1) = 0

Û (x − 1)[x² + (1 − 3m)x + 9 − 3m] = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {1 - 3m} \right)x + 9 - 3m = 0\;\left( * \right)\end{array} \right.\]

Cho A là điểm có hoành độ x₁ = 1.

Suy ra hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A là k₁ = 3.1² − 6m.1 + 9 = 12 − 6m

Để (Cm) cắt đường thẳng (dm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {1 - 3m} \right)^2} - 4\left( {9 - 3m} \right) > 0\\{1^2} + \left( {1 - 3m} \right).1 + 9 - 3m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 6m - 35 > 0\\11 - 6m \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \frac{5}{3}\\m < - \frac{7}{3}\end{array} \right.\\m \ne \frac{{11}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{5}{3}\\m \ne \frac{{11}}{6}\end{array} \right.\\m < - \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Hoành độ của B và C là hai nghiệm của phương trình (*) với theo Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_3} = 3m - 1\\{x_2}{x_3} = 9 - 3m\end{array} \right.\).

Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại B, C lần lượt là:

k₂ = 3x₂² − 6mx₂ + 9 và k₃ = 3x₃² − 6mx₃ + 9

Để k₁ + k₂ + k₃ > 15

Û (12 − 6m) + (3x₂² − 6mx₂ + 9) + (3x₃² − 6mx₃ + 9) > 15

Û 3(x₂² + x₃²) − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

Û 3[(x₂ + x₃)² − 2x₂x₃] − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

Û 3[(3m − 1)² − 2(9 − 3m)] − 6m(3m − 1) + 30 − 6m > 15

Û 3(9m² − 6m + 1 − 18 + 6m) − 18m² + 6m + 30 − 6m > 15

Û 9m² > 36 Û m² > 4

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\).

Kết hợp các điều kiện của m suy ra \(m \in \left( { - \infty ;\; - \frac{7}{3}} \right) \cup \left( {2;\; + \infty } \right)\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng: DC // OA.

c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O) \( \Rightarrow \widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \).

Xét tứ giác ABOC có:

\(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hay A, B, O, C thuộc 1 đường tròn.

b) Ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) Þ AB = AC.

Mà OB = OC = R Þ OA là đường trung trực của BC hay OA ^ BC (1)

Xét ∆CBD nội tiếp (O) có BD là đường kính của (O).

Suy ra ∆CBD vuông tại C hay DC ^ BC (2)

Từ (1), (2) Þ DC // OA.

c) Ta có: DC // OA Þ CE // OA Þ OCEA là hình thang (3)

Ta có: \[\widehat {ODE} + \widehat {OBC} = 90^\circ \];

\(\widehat {OBC} + \widehat {BOA} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\).

Xét ∆BOA và ∆ODE có:

\(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\) (cmt)

\[\widehat {DOE} = \widehat {OBA} = 90^\circ \]

OB = OD = R

Þ ∆BOA = ∆ODE (g.c.g)

Þ AB = OE (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))

Suy ra OE = AC (4)

Từ (3) và (4) Þ OCEA là hình thang cân.

d) Ta có: \[\widehat {SOI} + \widehat {AOB} = 90^\circ \]

\(\widehat {AOB} + \widehat {OAB} = 90^\circ \)

\(\widehat {OAB} = \widehat {SAO}\)

Suy ra \(\widehat {SOA} = \widehat {SAO}\) Þ ∆SOA cân tại S

Lại có SI là đường trung tuyến \(\left( {OI = IA = \frac{{OA}}{2} = R} \right)\)

Suy ra SI ^ OA Þ KS ^ OA (5)

Ta có ∆KAS có \(\widehat {KAI} = \widehat {SAI}\)

AI ^ KS suy ra KI = SI.

Mà OI ^ AI

Suy ra OKAS là hình bình hành (6)

Từ (5) và (6) suy ra AKOS là hình thoi.

Ta có ∆OAB vuông tại A có OA = 2OD = 2R

\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \Rightarrow \tan \widehat {OAB} = \tan 30^\circ = \frac{{KI}}{{AI}}\]

\[ \Rightarrow KI = \tan 30^\circ .AI = \frac{{\sqrt 3 }}{3}R\]

\[ \Rightarrow KS = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}R\].

Vậy \[SAKOS = \frac{{OA.SK}}{2} = \frac{{2R.\frac{{2\sqrt 3 }}{3}R}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{R^2}.\]

Câu 2

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho \(AM = \frac{1}{5}AB\). Tìm k trong \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \).

Xem đáp án

Lời giải

M là điểm nằm trên đoạn AB và \(AM = \frac{1}{5}AB\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{5}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \).

Câu 3