Cho hàm số: y = x³ − 3mx² + 9x + 1, có đồ thị (Cm), với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (dm): y = x + 10 − 3m cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, B, C. Gọi k₁, k₂, k₃ là hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị của m để k₁ + k₂ + k₃ > 15.

Lời giải

y = x³ − 3mx² + 9x + 1 Þ y' = 3x² − 6mx + 9.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và đường thẳng (dm) là:

x³ − 3mx² + 9x + 1 = x + 10 − 3m

Û x³ − 3mx² + 8x + 3m − 9 = 0

Û (x³ + 8x − 9) − (3mx² − 3m) = 0

Û (x − 1)(x² + x + 9) − 3m(x − 1)(x + 1) = 0

Û (x − 1)[x² + (1 − 3m)x + 9 − 3m] = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {1 - 3m} \right)x + 9 - 3m = 0\;\left( * \right)\end{array} \right.\]

Cho A là điểm có hoành độ x₁ = 1.

Suy ra hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A là k₁ = 3.1² − 6m.1 + 9 = 12 − 6m

Để (Cm) cắt đường thẳng (dm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {1 - 3m} \right)^2} - 4\left( {9 - 3m} \right) > 0\\{1^2} + \left( {1 - 3m} \right).1 + 9 - 3m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 6m - 35 > 0\\11 - 6m \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \frac{5}{3}\\m < - \frac{7}{3}\end{array} \right.\\m \ne \frac{{11}}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > \frac{5}{3}\\m \ne \frac{{11}}{6}\end{array} \right.\\m < - \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Hoành độ của B và C là hai nghiệm của phương trình (*) với theo Vi-ét:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_3} = 3m - 1\\{x_2}{x_3} = 9 - 3m\end{array} \right.\).

Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại B, C lần lượt là:

k₂ = 3x₂² − 6mx₂ + 9 và k₃ = 3x₃² − 6mx₃ + 9

Để k₁ + k₂ + k₃ > 15

Û (12 − 6m) + (3x₂² − 6mx₂ + 9) + (3x₃² − 6mx₃ + 9) > 15

Û 3(x₂² + x₃²) − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

Û 3[(x₂ + x₃)² − 2x₂x₃] − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

Û 3[(3m − 1)² − 2(9 − 3m)] − 6m(3m − 1) + 30 − 6m > 15

Û 3(9m² − 6m + 1 − 18 + 6m) − 18m² + 6m + 30 − 6m > 15

Û 9m² > 36 Û m² > 4

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\).

Kết hợp các điều kiện của m suy ra \(m \in \left( { - \infty ;\; - \frac{7}{3}} \right) \cup \left( {2;\; + \infty } \right)\).