Câu hỏi:

29/03/2023 1,895

Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?

A. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\overrightarrow {MO} \);

B. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 2\overrightarrow {MO} \);

C. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \);

D. \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 3\overrightarrow {MO} \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

∆ABC đều nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 60^\circ \).

Mà PQ // AB nên \(\widehat {MQK} = \widehat {ABC} = 60^\circ \);

HK // AC nên \(\widehat {MKQ} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)

∆MQK có: \(\widehat {MQK} = \widehat {MKQ} = 60^\circ \) nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK.

\( \Rightarrow \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} = 2\overrightarrow {MD} \) (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) \(\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} = 2\overrightarrow {MF} \) (2)

+) \(\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {ME} \) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MJ} = 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {MF} + 2\overrightarrow {ME} \)

\( \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \left( {\overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MI} } \right) + \left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} } \right)\)

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB} \).

Tương tự ta có: \(\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {MJ} = \overrightarrow {MC} ;\;\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA} \).

Khi đó: \(2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} } \right) = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} } \right)\).

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MO} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MF} + \overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}.3\overrightarrow {MO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).

Vậy \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).

Vậy ta chọn đáp án C.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng: DC // OA.

c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O) \( \Rightarrow \widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \).

Xét tứ giác ABOC có:

\(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hay A, B, O, C thuộc 1 đường tròn.

b) Ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) Þ AB = AC.

Mà OB = OC = R Þ OA là đường trung trực của BC hay OA ^ BC (1)

Xét ∆CBD nội tiếp (O) có BD là đường kính của (O).

Suy ra ∆CBD vuông tại C hay DC ^ BC (2)

Từ (1), (2) Þ DC // OA.

c) Ta có: DC // OA Þ CE // OA Þ OCEA là hình thang (3)

Ta có: \[\widehat {ODE} + \widehat {OBC} = 90^\circ \];

\(\widehat {OBC} + \widehat {BOA} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\).

Xét ∆BOA và ∆ODE có:

\(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\) (cmt)

\[\widehat {DOE} = \widehat {OBA} = 90^\circ \]

OB = OD = R

Þ ∆BOA = ∆ODE (g.c.g)

Þ AB = OE (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))

Suy ra OE = AC (4)

Từ (3) và (4) Þ OCEA là hình thang cân.

d) Ta có: \[\widehat {SOI} + \widehat {AOB} = 90^\circ \]

\(\widehat {AOB} + \widehat {OAB} = 90^\circ \)

\(\widehat {OAB} = \widehat {SAO}\)

Suy ra \(\widehat {SOA} = \widehat {SAO}\) Þ ∆SOA cân tại S

Lại có SI là đường trung tuyến \(\left( {OI = IA = \frac{{OA}}{2} = R} \right)\)

Suy ra SI ^ OA Þ KS ^ OA (5)

Ta có ∆KAS có \(\widehat {KAI} = \widehat {SAI}\)

AI ^ KS suy ra KI = SI.

Mà OI ^ AI

Suy ra OKAS là hình bình hành (6)

Từ (5) và (6) suy ra AKOS là hình thoi.

Ta có ∆OAB vuông tại A có OA = 2OD = 2R

\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \Rightarrow \tan \widehat {OAB} = \tan 30^\circ = \frac{{KI}}{{AI}}\]

\[ \Rightarrow KI = \tan 30^\circ .AI = \frac{{\sqrt 3 }}{3}R\]

\[ \Rightarrow KS = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}R\].

Vậy \[SAKOS = \frac{{OA.SK}}{2} = \frac{{2R.\frac{{2\sqrt 3 }}{3}R}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{R^2}.\]

Câu 2

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho \(AM = \frac{1}{5}AB\). Tìm k trong \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \).

Xem đáp án

Lời giải

M là điểm nằm trên đoạn AB và \(AM = \frac{1}{5}AB\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{5}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \).

Câu 3