Cho phương trình x2 − 2(m + 3)x + m2 − 1 = 0. Tìm m để Q = x1 + x2 − 3x1x2 có giá trị lớn nhất.

Lời giải x2 − 2(m + 3)x + m2 − 1 = 0 Ta có: ∆' = (m + 3)2 − (m2 − 1) = 6m + 10 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆' > 0 Hay 6m + 10 > 0 ( Leftrightarrow m > - frac{5}{3} ) Theo hệ thức Vi-ét ta có: ( left { begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 left( {m + 3} right) {x_1}{x_2} = {m^2} - 1 end{array} right. ) Xét Q = x1 + x2 − 3x1x2 = 2(m + 3) − 3(m2 − 1) = −3m2 + 2m + 9 ( = - left[ {{{ left( {m sqrt 3 } right)}^2} - 2.m sqrt 3 . frac{1}{{ sqrt 3 }} + frac{1}{3}} right] + frac{{28}}{3} ) [ = frac{{28}}{3} - { left( {m sqrt 3 - frac{1}{{ sqrt 3 }}} right)^2} le frac{{28}}{3} ;, ; forall m ] Dấu “=” xảy ra Û ({ left( {m sqrt 3 - frac{1}{{ sqrt 3 }}} right)^2} = 0 Leftrightarrow m = frac{1}{3} ) (thỏa mãn) Vậy [m = frac{1}{3} ] là giá trị của m thỏa mãn.

Câu hỏi:

29/03/2023 201

Cho phương trình x² − 2(m + 3)x + m² − 1 = 0.

Tìm m để Q = x₁ + x₂ − 3x₁x₂ có giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

x² − 2(m + 3)x + m² − 1 = 0

Ta có: ∆' = (m + 3)² − (m² − 1) = 6m + 10

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆' > 0

Hay 6m + 10 > 0 \( \Leftrightarrow m > - \frac{5}{3}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 3} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Xét Q = x₁ + x₂ − 3x₁x₂ = 2(m + 3) − 3(m² − 1)

= −3m² + 2m + 9

\( = - \left[ {{{\left( {m\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.m\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{3}} \right] + \frac{{28}}{3}\)

\[ = \frac{{28}}{3} - {\left( {m\sqrt 3 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} \le \frac{{28}}{3}\;,\;\forall m\]

Dấu “=” xảy ra Û \({\left( {m\sqrt 3 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn)

Vậy \[m = \frac{1}{3}\] là giá trị của m thỏa mãn.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng: DC // OA.

c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến của (O) \( \Rightarrow \widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ \).

Xét tứ giác ABOC có:

\(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Hay A, B, O, C thuộc 1 đường tròn.

b) Ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) Þ AB = AC.

Mà OB = OC = R Þ OA là đường trung trực của BC hay OA ^ BC (1)

Xét ∆CBD nội tiếp (O) có BD là đường kính của (O).

Suy ra ∆CBD vuông tại C hay DC ^ BC (2)

Từ (1), (2) Þ DC // OA.

c) Ta có: DC // OA Þ CE // OA Þ OCEA là hình thang (3)

Ta có: \[\widehat {ODE} + \widehat {OBC} = 90^\circ \];

\(\widehat {OBC} + \widehat {BOA} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\).

Xét ∆BOA và ∆ODE có:

\(\widehat {ODE} = \widehat {BOA}\) (cmt)

\[\widehat {DOE} = \widehat {OBA} = 90^\circ \]

OB = OD = R

Þ ∆BOA = ∆ODE (g.c.g)

Þ AB = OE (hai cạnh tương ứng)

Mà AB = AC (AB và AC đều là tiếp tuyến chung của (O))

Suy ra OE = AC (4)

Từ (3) và (4) Þ OCEA là hình thang cân.

d) Ta có: \[\widehat {SOI} + \widehat {AOB} = 90^\circ \]

\(\widehat {AOB} + \widehat {OAB} = 90^\circ \)

\(\widehat {OAB} = \widehat {SAO}\)

Suy ra \(\widehat {SOA} = \widehat {SAO}\) Þ ∆SOA cân tại S

Lại có SI là đường trung tuyến \(\left( {OI = IA = \frac{{OA}}{2} = R} \right)\)

Suy ra SI ^ OA Þ KS ^ OA (5)

Ta có ∆KAS có \(\widehat {KAI} = \widehat {SAI}\)

AI ^ KS suy ra KI = SI.

Mà OI ^ AI

Suy ra OKAS là hình bình hành (6)

Từ (5) và (6) suy ra AKOS là hình thoi.

Ta có ∆OAB vuông tại A có OA = 2OD = 2R

\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = 30^\circ \Rightarrow \tan \widehat {OAB} = \tan 30^\circ = \frac{{KI}}{{AI}}\]

\[ \Rightarrow KI = \tan 30^\circ .AI = \frac{{\sqrt 3 }}{3}R\]

\[ \Rightarrow KS = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}R\].

Vậy \[SAKOS = \frac{{OA.SK}}{2} = \frac{{2R.\frac{{2\sqrt 3 }}{3}R}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{R^2}.\]

Câu 2

Cho đoạn thẳng AB và M là điểm nằm trên đoạn AB sao cho \(AM = \frac{1}{5}AB\). Tìm k trong \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \).

Xem đáp án

Lời giải

M là điểm nằm trên đoạn AB và \(AM = \frac{1}{5}AB\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AM} + \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \frac{4}{5}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {MB} \).

Câu 3