Câu hỏi:
12/07/2024 561Cho a, b, c > 0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. CMR:
\(\frac{{{a^3}{b^3}}}{c} + \frac{{{b^3}{c^3}}}{a} + \frac{{{a^3}{c^3}}}{b} \ge 3abc\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
BĐT trên tương đương với việc chứng minh
\({a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4} \ge 3{a^2}{b^2}{c^2}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\({a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} \ge 2\sqrt {{a^4}{b^4}.{b^4}{c^4}} = 2{a^2}{b^4}{c^2}\) (1)
\({b^4}{c^4} + {c^4}{a^4} \ge 2\sqrt {{b^4}{c^4}.{c^4}{a^4}} = 2{b^2}{c^4}{a^2}\) (2)
\({c^4}{a^4} + {a^4}{b^4} \ge 2\sqrt {{c^4}{a^4}.{a^4}{b^4}} = 2{c^2}{a^4}{b^2}\) (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:
\(2\left( {{a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4}} \right) \ge 2\left( {{a^2}{b^4}{c^2} + {b^2}{c^4}{a^2} + {c^2}{a^4}{b^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4} \ge {a^2}{b^4}{c^2} + {b^2}{c^4}{a^2} + {c^2}{a^4}{b^2}\)
\[ \Leftrightarrow {a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {a^4}{c^4} \ge {a^2}{b^2}{c^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 3{a^2}{b^2}{c^2}\] (*)
Chia 2 vế của (*) với abc > 0 ta suy ra:
\(\frac{{{a^3}{b^3}}}{c} + \frac{{{b^3}{c^3}}}{a} + \frac{{{a^3}{c^3}}}{b} \ge 3abc\) (đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: DC // OA.
c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.
Câu 3:
Câu 4:
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Câu 5:
Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d) (m là tham số và m ≠ 1).
a) Vẽ đồ thị khi m = 2.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = −3x + 2 (d1).
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.
Câu 6:
Câu 7:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE . AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
về câu hỏi!