Câu hỏi:
12/07/2024 3,640Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM.
a) Chứng minh rằng tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM.
c) Chứng minh: AM . BE = AN . AQ.
d) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp ∆OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Xét đường tròn tâm O, đường kính AB có:
\(\widehat {APB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Nên \(\widehat {QPB} = 90^\circ ;\;\widehat {QMA} = 90^\circ \) (hai góc kề bù với hai góc trên).
Suy ra \(\widehat {QPE} + \widehat {QME} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Do đó, tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.
b) K là điểm chính giữa cung AB nên
Þ AK = KB (liên hệ giữa cung và dây)
Xét ∆AKN và ∆BKM có:
AK = BK (cmt)
\(\widehat {NAK} = \widehat {MBK}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KM)
AN = BM (gt)
Þ ∆AKN = ∆BKM (c.g.c).
c) Xét ∆AMQ và ∆BME có:
\(\widehat {AMQ} = \widehat {BME} = 90^\circ \)
\(\widehat {QAM} = \widehat {EBM}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)
Þ ∆AMQ ᔕ ∆BME (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AQ}}{{BE}} \Rightarrow AM.BE = BM.AQ\)
Mà AN = BM Þ AM.BE = AN.AQ
d) \(\widehat {ABM} = \widehat {RPM}\) (ABMP nội tiếp)
\(\widehat {RPM} = \widehat {QSR}\) (RPMS nội tiếp)
\( \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {QSR}\) (Hai góc ở vị trí đồng vị)
Þ RS // AB
BP // KM Þ cung KP = cung MB
Þ
\( \Rightarrow \widehat {MOP} = \widehat {KOB} = 90^\circ \) (Hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau)
Þ ∆OMP nội tiếp đường tròn đường kính PM
PQME nội tiếp đường tròn nên suy ra
Kẻ IC // AQ, ID // BQ \( \Rightarrow \widehat {CID} = \widehat {PQM} = 45^\circ \)
RS = OM = OA = OB = R (không đổi)
Þ C, D là trung điểm của OA, OB Þ C, D cố định
I luôn nhìn CD cố định dưới góc 45°
Þ I nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn CD cố định.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O; R), B và C là các tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng: DC // OA.
c) Đường trung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. Chứng minh rằng OCEA là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của đoạn OA và (O), K là giao điểm của tia SI và AB. Tính theo R diện tích tứ giác AKOS.
Câu 3:
Câu 4:
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: OA ^ BC và OA // BD.
b) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D), H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng: AE.AD = AH.AO.
Câu 5:
Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 4 có đồ thị là đường thẳng (d) (m là tham số và m ≠ 1).
a) Vẽ đồ thị khi m = 2.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = −3x + 2 (d1).
c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2.
Câu 6:
Câu 7:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE . AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
về câu hỏi!