Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM.

a) Chứng minh rằng tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM.

c) Chứng minh: AM . BE = AN . AQ.

d) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp ∆OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định

Lời giải

a) Xét đường tròn tâm O, đường kính AB có:

\(\widehat {APB} = \widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Nên \(\widehat {QPB} = 90^\circ ;\;\widehat {QMA} = 90^\circ \) (hai góc kề bù với hai góc trên).

Suy ra \(\widehat {QPE} + \widehat {QME} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Do đó, tứ giác PQME nội tiếp đường tròn.

b) K là điểm chính giữa cung AB nên

Þ AK = KB (liên hệ giữa cung và dây)

Xét ∆AKN và ∆BKM có:

AK = BK (cmt)

\(\widehat {NAK} = \widehat {MBK}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KM)

AN = BM (gt)

Þ ∆AKN = ∆BKM (c.g.c).

c) Xét ∆AMQ và ∆BME có:

\(\widehat {AMQ} = \widehat {BME} = 90^\circ \)

\(\widehat {QAM} = \widehat {EBM}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Þ ∆AMQ ᔕ ∆BME (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AQ}}{{BE}} \Rightarrow AM.BE = BM.AQ\)

Mà AN = BM Þ AM.BE = AN.AQ

d) \(\widehat {ABM} = \widehat {RPM}\) (ABMP nội tiếp)

\(\widehat {RPM} = \widehat {QSR}\) (RPMS nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {QSR}\) (Hai góc ở vị trí đồng vị)

Þ RS // AB

BP // KM Þ cung KP = cung MB

Þ

\( \Rightarrow \widehat {MOP} = \widehat {KOB} = 90^\circ \) (Hai góc ở tâm chắn hai cung bằng nhau)

Þ ∆OMP nội tiếp đường tròn đường kính PM

PQME nội tiếp đường tròn nên suy ra

Kẻ IC // AQ, ID // BQ \( \Rightarrow \widehat {CID} = \widehat {PQM} = 45^\circ \)

RS = OM = OA = OB = R (không đổi)

Þ C, D là trung điểm của OA, OB Þ C, D cố định

I luôn nhìn CD cố định dưới góc 45°

Þ I nằm trên cung chứa góc 45° vẽ trên đoạn CD cố định.