Câu hỏi:
31/03/2023 274Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Chứng minh AB2 = BH.BC.
b) Chứng minh AC2 = CH.BC.
c) Chứng minh \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
a) Xét ∆HAB và ∆ACB có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)
\(\widehat B\) chung
Do đó ∆HAB ᔕ ∆ACB (g.g)
Suy ra \(\frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{CB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Vậy \(A{B^2} = BH\,.\,BC\) (đpcm)
b) Xét ∆HAC và ∆ABC có:
\(\widehat {AHC} = \widehat {BAC}\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)
\(\widehat C\): góc chung
Þ ∆HAC ᔕ ∆ABC (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{HC}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow A{C^2} = CH\,.\,CB\) (đpcm)
c) Ta có: \(\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{BH\,.\,BC}} + \frac{1}{{CH\,.\,CB}}\)
\( = \frac{1}{{BC}}.\left( {\frac{1}{{BH}} + \frac{1}{{CH}}} \right) = \frac{1}{{BC}}.\frac{{CH + BH}}{{BH\,.\,CH}}\)
\( = \frac{1}{{BC}}.\frac{{BC}}{{BH\,.\,CH}} = \frac{1}{{BH\,.\,CH}}\) (1)
Lại có \(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (hai góc phụ \(\widehat {HAC}\))
Xét ∆HAB và ∆HCA có:
\(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (cmt)
\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\;\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)
Þ ∆HAB ᔕ ∆HCA (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}} \Rightarrow A{H^2} = CH\,.\,BH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\) (đpcm).CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.
a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.
b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D thuộc AB, E thuộc AC). Chứng
minh BD.DA + CE.EA = AH2.
c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:
\[\sin \widehat {AMB}\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía đối với BC) tiếp tuyến đường trong tâm O tại C cắt ở I , OI cắt tại H.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
b) Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm, tính các độ dài OI và CI.
Câu 7:
về câu hỏi!