Chứng minh: \[\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\].

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.

b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D thuộc AB, E thuộc AC). Chứng

minh BD.DA + CE.EA = AH².

c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:

\[\sin \widehat {AMB}\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \);

b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).

Cho đường tròn tâm O đường kính BC, điểm A thuộc đường tròn. Vẽ bán kính OK song song với BA (K và A nằm cùng phía đối với BC) tiếp tuyến đường trong tâm O tại C cắt ở I , OI cắt tại H.

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b) Chứng minh IA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm, tính các độ dài OI và CI.