Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường thẳng này cắt AC tại H, cắt CD tại M.

a) Chứng minh ΔCMH ᔕ ΔCAD.

b) Chứng minh BC² = CM.CD. Tính độ dài đoạn MC, biết AB = 8 cm, BC = 6 cm.

c) Kẻ MK vuông góc với AB tại K, MK cắt AC tại điểm I. Chứng minh \(\widehat {BIM} = \widehat {AMC}.\)

Lời giải

a) Xét ∆CMH và ∆CAD có:

\(\widehat {ACD}\) chung

\(\widehat {CDA} = \widehat {CHM} = {90^ \circ }\)

Þ ΔCMH ᔕ ΔCAD (g.g)

b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên \({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\).

Mà \({\widehat C_1} + {\widehat M_1} = {90^ \circ }\) và \({\widehat B_1} + {\widehat M_1} = 90^\circ \) nên \({\widehat B_1} = {\widehat D_1}\).

Xét ∆BCM và ∆DCB có:

\({\widehat B_1} = {\widehat D_1}\) (cmt)

\(\widehat {BCM} = \widehat {DCB} = 90^\circ \) (gt)

Do đó ΔBCM ᔕ ΔDCB (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BC}}{{CM}} = \frac{{CD}}{{BC}} \Rightarrow B{C^2} = CM.CD\)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 8 cm

Theo trên BC² = CM.CD Þ 6² = 8.CM

\( \Rightarrow CM = \frac{9}{2}\;cm\)

c) Gọi P là giao điểm của BI và AM.

Xét ∆ABM có AH, MK là hai đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm tam giác ABM.

Suy ra BP ^ MA \( \Rightarrow \widehat {KBP} = \widehat {BAP} = 90^\circ \)

\({\widehat A_1} + \widehat {BAP} = 90^\circ \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {KBI}\)

Xét ∆AMD và ∆BKI có:

\(\widehat {ADM} = \widehat {BKI} = 90^\circ \)

\({\widehat A_1} = \widehat {KBI}\) (cmt)

Do đó ΔAMD ᔕ ΔBKI (g.g)

Suy ra \({\widehat M_2} = {\widehat I_1}\) (hai góc tương ứng).

Mà \({\widehat M_2} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) và \({\widehat I_1} + \widehat {BIM} = 180^\circ \).

Vậy \(\widehat {BIM} = \widehat {AMC}\).