Cho các số nguyên tố p, q thỏa mãn p2 − 2q2 = 17. Tính p + q.

Lời giải Vì p, q là các số nguyên tố nên p.q > 1 Lại có p2 − 2q2 = 17 Þ p2 > 17 Þ p ≥ 5 * Xét p = 5, thay vào ta có q = 2. Khi đó, p + q = 7. * Xét p > 5, vì p là số nguyên tố nên p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (k Î ℤ+). • Với p = 6k + 1, ta có: (6k + 1)2 − 2q2 = 17 Û 36k2 + 12k + 1 − 2q2 = 17 Û 36k2 + 12k − 2q2 = 16 Û 18k2 + 6k − q2 = 8 Ta thấy VP ⋮ 2 nên VT ⋮ 2 Mà 18k2 + 6k ⋮ 2 Þ q2 ⋮ 2 Þ q = 2 Thay vào ta được p = 5 • Với p = 6k + 5, ta có: (6k + 5)2 − 2q2 = 17 Û 36k2 + 60k + 25 − 2q2 = 17 Û 36k2 + 60k − 2q2 = −8 Û 18k2 + 30k − q2 = −4 Ta thấy VP ⋮ 2 Þ VT ⋮ 2 Mà 18k2 + 30k ⋮ 2 Þ q2 ⋮ 2 Þ q = 2. Thay vào ta được p = 5. Vậy p + q = 7.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,052

Cho các số nguyên tố p, q thỏa mãn p² − 2q² = 17. Tính p + q.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Vì p, q là các số nguyên tố nên p.q > 1

Lại có p² − 2q² = 17 Þ p² > 17 Þ p ≥ 5

* Xét p = 5, thay vào ta có q = 2.

Khi đó, p + q = 7.

* Xét p > 5, vì p là số nguyên tố nên p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (k Î ℤ⁺).

• Với p = 6k + 1, ta có:

(6k + 1)² − 2q² = 17

Û 36k² + 12k + 1 − 2q² = 17

Û 36k² + 12k − 2q² = 16

Û 18k² + 6k − q² = 8

Ta thấy VP ⋮ 2 nên VT ⋮ 2

Mà 18k² + 6k ⋮ 2 Þ q² ⋮ 2 Þ q = 2

Thay vào ta được p = 5

• Với p = 6k + 5, ta có:

(6k + 5)² − 2q² = 17

Û 36k² + 60k + 25 − 2q² = 17

Û 36k² + 60k − 2q² = −8

Û 18k² + 30k − q² = −4

Ta thấy VP ⋮ 2 Þ VT ⋮ 2

Mà 18k² + 30k ⋮ 2 Þ q² ⋮ 2 Þ q = 2.

Thay vào ta được p = 5.

Vậy p + q = 7.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

Xem đáp án

Lời giải

• TH1: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ có:

\(C_8^2.C_5^2 = 280\) (cách).

• TH2: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_3^2 = 84\) (cách).

• TH3: Chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_5^1.C_3^1 = 420\) (cách).

Vậy có: 280 + 84 + 420 = 784 (cách).

Câu 2

Giải phương trình: sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + 7x} \right) - \cos \left( {7x - x} \right)} \right] = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {5x + 3x} \right) - \cos \left( {5x - 3x} \right)} \right]\)

Û cos 8x − cos 6x = cos 8x − cos 2x

Û cos 6x = cos 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2x + k2\pi \\6x = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k2\pi \\8x = k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{2}\\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = k\frac{\pi }{4}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 3