Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F.

a) Chứng minh: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).

b) Tứ giác MEOF là hình gì?

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Lời giải

a) Dễ thấy \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {EMF} = 90^\circ \) tiếp tuyến CM, CA.

Suy ra OC ^ AM hay \(\widehat {OEM} = 90^\circ \).

Chứng minh tương tự ta được \(\widehat {OFM} = 90^\circ \).

Xét ∆CAO và ∆CMO có:

AO = MO = R (cmt)

CO là cạnh chung

\(\widehat {CAO} = \widehat {CMO} = 90^\circ \)

Do đó ∆CAO = ∆CMO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {MOC}\) (hai góc tương ứng).

Do đó OC là tia phân giác của \(\widehat {AMO}\).

Tương tự AD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Suy ra OC ^ OD hay \(\widehat {COD} = 90^\circ \).

b) Do ∆AOM cân tại O nên OE là đường phân giác đồng thời là đường cao

\( \Leftrightarrow \widehat {OEM} = 90^\circ \)

Chứng minh tương tự, ta suy ra được \(\widehat {OFM} = 90^\circ \).

Vậy MEOF là hình chữ nhật.

c) Gọi I là trung điểm của CD.

Khi đó, I là tâm đường tròn đường kính CD và IO = IC = ID.

Ta có ABDC là hình thang vuông tại A và B nên IO // AC // BD và IO ^ AB.