Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 2AB. Vẽ tia phân giác Ax của A. Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với Ax cắt AC tại F. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc Ax cắt Ax tại E.

a) CMR: Tứ giác ABEF có bốn cạnh bằng nhau.

b) CMR: Tứ giác BECF là hình bình hành.

c) Vẽ trung tuyến AM và đường cao AH. BF cắt AH và AM tại P và Q. Hỏi APEQ là hình gì?

Lời giải

Lấy I là giao của Ax và BF.

 a) AI là tia phân giác của góc BAF và AI cũng là đường cao của tam giác BAF nên

 ∆BAF cân tại A nên AB = AF.

Mà \(\widehat {BAF} = 90^\circ \).

Khi đó ABEF là hình vuông.

Vậy ABEF có bốn cạnh bằng nhau.

b) Ta có: BE = AF = BA.

Mà AC = 2BA nên AC = 2AF Þ FC = AF = BE.

Lại có BE // AF Þ BE // FC.

Vậy BECF là hình bình hành.

c) Vì tứ giác ABEF là hình vuông nên I là trung điểm AE.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

Suy ra AM = MB = MC (tính chất trung tuyến tam giác vuông)

Þ Tam giác AMC cân tại M

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA}\)

Mà \(\widehat {MCA} = \widehat {BAH}\) (cùng phụ \(\widehat {ABC}\))

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {BAH}\)

• Xét ∆ABP và ∆AFQ có:

AB = AF

\(\widehat {BAP} = \widehat {FAQ}\)

\(\widehat {ABP} = \widehat {AFQ}\) (do ∆ABF cân tại A)

Do đó ∆ABP = ∆AFQ (g.c.g)

Suy ra AP = AQ (hai cạnh tương ứng).

Suy ra ∆APQ cân tại A, có AI là đường cao nên AI đồng thời là trung tuyến.

Do đó I là trung điểm PQ.

• Xét tứ giác APEQ có: I là trung điểm AE và PQ.

Suy ra tứ giác APEQ là hình bình hành.

Lại có AE vuông góc PQ.

Vậy tứ giác APEQ là hình thoi.