Câu hỏi:

12/07/2024 889

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết AB = 4 cm, \(AC = 4\sqrt 3 \;cm\). Giải tam giác ABC.

b) Kẻ HD, HE lần lượt vuông góc với AB, AC (D ∈ AB, E ∈ AC). Chứng

minh BD.DA + CE.EA = AH².

c) Lấy diểm M nằm giữa E và C, kẻ AI vuông góc với MB tại I. Chứng minh:

\[\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Media VietJack

a) Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\;(cm)\)

\[\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \]

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)

b) Tứ giác ADHE có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên ADHE là hình chữ nhật.

Suy ra DE = AH và \(\widehat {DHE} = 90^\circ \).

Do đó ∆DHE vuông tại H nên DH² + EH² = DE².

Xét ∆ADH và ∆HDB có:

\[\widehat {ADH} = \widehat {HDB}\;\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\]

\(\widehat {DAH} = \widehat {DHB}\) (cùng phụ \(\widehat {AHD}\))

Do đó ∆ADH ᔕ ∆HDB (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{EA}}{{EH}} = \frac{{EH}}{{CE}} \Rightarrow EA.EC = E{H^2}\).

Þ BD.DA + CE.EA = DH² + EH² = DE² = AH².

c) Vì \(\widehat {AIB} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) nên I, H thuộc đường tròn đường kính AB

Þ Tứ giác ABHI nội tiếp đường tròn đường kính AB

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BIH}\) (Góc nội tiếp chắn cung BM)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BCM}\) (cùng phụ \(\widehat {CAM}\))

\( \Rightarrow \widehat {BIH} = \widehat {BCM}\)

Xét ∆BIH và ∆BCM có:

\(\widehat B\): góc chung

\(\widehat {BIH} = \widehat {BCM}\) (cmt)

Do đó ∆BIH ᔕ ∆BCM (g.g)

Suy ra \(\frac{{BH}}{{BM}} = \frac{{HI}}{{CM}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Xét ∆BAM và ∆BCA có:

\(\widehat B\): góc chung

\(\widehat {BMA} = \widehat {BAC}\;\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\) (cmt)

Do đó ∆BAM ᔕ ∆BCA (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{BC.BM}} = \frac{{HI}}{{CM}}\)

Khi đó \(\sin \widehat {AMB}.\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BM}}.\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{BM.BC}} = \frac{{HI}}{{CM}}\).

Vậy \[\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\] (đpcm).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

Xem đáp án

Lời giải

• TH1: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ có:

\(C_8^2.C_5^2 = 280\) (cách).

• TH2: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_3^2 = 84\) (cách).

• TH3: Chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_5^1.C_3^1 = 420\) (cách).

Vậy có: 280 + 84 + 420 = 784 (cách).

Câu 2

Giải phương trình: sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + 7x} \right) - \cos \left( {7x - x} \right)} \right] = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {5x + 3x} \right) - \cos \left( {5x - 3x} \right)} \right]\)

Û cos 8x − cos 6x = cos 8x − cos 2x

Û cos 6x = cos 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2x + k2\pi \\6x = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k2\pi \\8x = k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{2}\\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = k\frac{\pi }{4}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 3