Một lớp học có 45 học sinh, trong đó có 20% tổng số học sinh giỏi. Số học sinh giỏi bằng \(\frac{3}{7}\) số học sinh tiên tiến, số học sinh còn lại là học sinh trung bình. Hỏi số học sinh trung bình chiếm bao nhiêu số học sinh trong lớp?

Lời giải

a) ∆ABC vuông tại A

\( \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\;(cm)\)

\(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ACB} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)

b) Tứ giác ADHE có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Þ DE = AH và \(\widehat {DHE} = 90^\circ \)

Þ ∆DHE vuông tại H Þ DH² + EH² = DE²

Xét ∆ADH và ∆HDB có:

\(\widehat {ADH} = \widehat {HDB}\;\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\)

\(\widehat {DAH} = \widehat {DHB}\) (cùng phụ \(\widehat {AHD}\))

Do đó ∆ADH ᔕ ∆HDB (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{EA}}{{EH}} = \frac{{EH}}{{CE}} \Rightarrow EA.EC = E{H^2}\)

Þ BD.DA + CE.EA = DH² + EH² = DE² = AH².

Vậy BD.DA + CE.EA = AH² (đpcm).

c) Ta có \(\widehat {AIB} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) nên I, H thuộc đường tròn đường kính AB

Þ Tứ giác ABHI nội tiếp đường tròn đường kính AB

\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {BIH}\) (góc nội tiếp chắn cung BM)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BCM}\) (cùng phụ \(\widehat {CAM}\))

Nên \(\widehat {BIH} = \widehat {BCM}\)

• Xét ∆BIH và ∆BCM có:

\(\widehat B\) chung

\(\widehat {BIH} = \widehat {BCM}\) (cmt)

Do đó ∆BIH ᔕ ∆BCM (g.g)

Suy ra \(\frac{{BH}}{{BM}} = \frac{{HI}}{{CM}}\) (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

• Xét ∆BAM và ∆BCA có:

\(\widehat B\) chung

\(\widehat {BMA} = \widehat {BAC}\;\left( { = {{90}^ \circ }} \right)\) (cmt)

Do đó ∆BAM ᔕ ∆BCA (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{BC.BM}} = \frac{{HI}}{{CM}}\)

Khi đó \(\sin \widehat {AMB}\,\,.\,\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BM}}\,.\,\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A{B^2}}}{{BM\,.\,BC}} = \frac{{HI}}{{CM}}\).

Vậy \[\sin \widehat {AMB}\,.\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{HI}}{{CM}}\] (đpcm).