Giải phương trình lượng giác: \(\sin 3x + \cos 3x - \sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos 2x\).

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với: \(\left( {2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 } \right)\cos 2x = 0\)

• TH1: \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

• TH2: \(2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{4} - x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\); \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \); \(x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \) với \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).