Giải phương trình: sin3 x + cos3 x − sin x − cos x = cos 2x.

Câu hỏi:

31/03/2023 238

Giải phương trình: sin³ x + cos³ x − sin x − cos x = cos 2x.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Ta có sin³ x + cos³ x − sin x − cos x = cos 2x

Û (sin x + cos x)(sin² x − sin x.cos x + cos² x) − (sin x + cos x) − (cos² x − sin² x) = 0

Û (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) − (sin x + cos x) − (sin x + cos x)(cos x − sin x) = 0

Û (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x − 1 − cos x + sin x) = 0

Û (sin x + cos x)(− sin x.cos x − cos x + sin x) = 0

• TH1: sin x + cos x = 0

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

• TH2: − sin x.cos x − cos x + sin x = 0 (1)

Đặt t = sin x − cos x; t Î (−2; 2)

\( \Rightarrow \frac{{{t^2} - 1}}{2} = - \sin x.\cos x\)

Phương trình (1) Û \(t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 + \sqrt 2 \;\left( {TM} \right)\\t = - 1 - \sqrt 2 \;\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin x - \cos x = - 1 + \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 + 1\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm arc}\nolimits} \,cos\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \,cos\frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

Xem đáp án

Lời giải

• TH1: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ có:

\(C_8^2.C_5^2 = 280\) (cách).

• TH2: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_3^2 = 84\) (cách).

• TH3: Chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_5^1.C_3^1 = 420\) (cách).

Vậy có: 280 + 84 + 420 = 784 (cách).

Câu 2

Giải phương trình: sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + 7x} \right) - \cos \left( {7x - x} \right)} \right] = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {5x + 3x} \right) - \cos \left( {5x - 3x} \right)} \right]\)

Û cos 8x − cos 6x = cos 8x − cos 2x

Û cos 6x = cos 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2x + k2\pi \\6x = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k2\pi \\8x = k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{2}\\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = k\frac{\pi }{4}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 3