Cho \(Q = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

ĐK: x ≥ 0.

Ta có \(Q = \frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - {3^2} + 25}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) + 25}}{{\sqrt x + 3}}\)

\[ = \sqrt x - 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} = \sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} - 6\].

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai số dương, ta có:

\[Q = \sqrt x + 3 + \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} - 6 \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 3} \right).\frac{{25}}{{\sqrt x + 3}}} - 6\].

Do đó Q ≥ 2.5 − 6 = 4.

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x + 3 = \frac{{25}}{{\sqrt x + 3}} \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) = 25\).

Vì \(\sqrt x + 3 > 0\) nên \(\sqrt x + 3 = 5 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi trong đó có đúng 2 viên bi xanh?

Xem đáp án

Lời giải

• TH1: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ có:

\(C_8^2.C_5^2 = 280\) (cách).

• TH2: Chọn 2 viên bi xanh, 2 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_3^2 = 84\) (cách).

• TH3: Chọn 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng có:

\(C_8^2.C_5^1.C_3^1 = 420\) (cách).

Vậy có: 280 + 84 + 420 = 784 (cách).

Câu 2

Giải phương trình: sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có sin x.sin 7x = sin 3x.sin 5x

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + 7x} \right) - \cos \left( {7x - x} \right)} \right] = - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {5x + 3x} \right) - \cos \left( {5x - 3x} \right)} \right]\)

Û cos 8x − cos 6x = cos 8x − cos 2x

Û cos 6x = cos 2x

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 2x + k2\pi \\6x = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = k2\pi \\8x = k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\frac{\pi }{2}\\x = k\frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = k\frac{\pi }{4}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Câu 3