Cho nửa đường trong (O) đường kính BC và điểm A nằm trong nửa đường tròn (A ≠ B, C). Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ 2 nửa đường tròn, đường kính HB và HC. Chúng cắt AB và AC ở E và F.

a. Chứng minh: AE.AB = AF.AC.

b. Chứng minh: EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH.

c. Gọi I và K là 2 điểm của H qua AB và AC. Chứng minh I, A, K thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a. Ta có: \(\widehat {BEH} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa (BH)) ⇒ HE ⊥ AB

∆AHB vông tại H, đường cao HE:

AE.AB = \(A{H^2}(1)\)

\(\widehat {HFC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa (HC)) ⇒ HF ⊥ AC

∆AHC vuông tại H, đường cao HF: AF.AC = \(A{H^2}\)(2)

Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB = AF.AC

b. Ta có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa (BC)) \( \Rightarrow \widehat {EAF} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {AEH} = 90^\circ \left( {HE \bot AB} \right)\) và \[\widehat {AFH} = 90^\circ \left( {HF \bot AC} \right)\]

⇒ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật ⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp

\(\widehat {HEF} = \widehat {HAF}\)(Cùng chắn cung HF của (AEHF))

\(\widehat {HAF} = \widehat {ABC} \Rightarrow \) EF là tiếp tuyến (BH)

c. Ta sẽ chứng minh \(\widehat {AIH} = \widehat {KAC}\)

Ta có: \(\widehat {KAC} = \widehat {HAC}\) (tính chất đối xứng)

\(\widehat {HAC} = \widehat {AHE}\) (so le trong) \( \Rightarrow \widehat {KAC} = \widehat {AHE}\)

\(\widehat {AIH} = \widehat {AHE}\) (tính chất đối xứng)

Vậy \(\widehat {AIH} = \widehat {KAC}\) (Cùng = \(\widehat {AHE}\))

Mà AC // IH (tứ giác AEHF là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \widehat {AIH}\) và \(\widehat {KAC}\) đồng vị ⇒ I, A, K thẳng hàng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần (ảnh 1)

Gọi I, E lần lượt là giao điểm của MN với AD, AB

Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại K, G

Ta có:

M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD ⇒ MN là đường trung bình của ∆BCD ⇒ MN // BD

Mà KG // BD ⇒ MN // KG ⇒ K, G ∈ (MNP)

Ta có:

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{E = AB \cap MN \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\\{K \in SB;K \in \left( {MNP} \right) \Rightarrow K \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = KE\)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I = AD \cap MN \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\\{G \in SD;G \in \left( {MNP} \right) \Rightarrow G \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = IG\)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M,K \in \left( {MNP} \right)}\\{M,K \in \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {MNP} \right) = MK\)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N,G \in \left( {MNP} \right)}\\{N,G \in \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NG\)

Vậy (SAB) ∩ (MNP) = KE; (SAD) ∩ (MNP) = IG; (SBC) ∩ (MNP) = MK; (SCD) ∩ (MNP) = NG.

Câu 2

Tính tổng: \({\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \).

Xem đáp án

Lời giải

\({\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \)

\( = \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\sin }^2}88^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}4^\circ + {{\sin }^2}86^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\sin }^2}46^\circ } \right)\)

\( = \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}4^\circ + {{\cos }^2}4^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\cos }^2}44^\circ } \right)\) (do 2 góc phụ nhau sin góc này bằng cos góc kia)

= 1 + 1 + 1 +....+ 1 = 22 .

Câu 3