Cho ∆ABC, trung tuyến AM Chứng minh rằng:\(A{B^2} + A{C^2} = 2A{M^2} + \frac{{B{C^2}}}{2}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC)

Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = A{H^2} + B{H^2} + A{H^2} + H{C^2}\)

\( = 2A{H^2} + {\left( {MB - MH} \right)^2} + {\left( {MC + MH} \right)^2}\)

\( = 2A{H^2} + M{B^2} + M{H^2} - 2MB.MH + M{C^2} + M{H^2} + 2MC.MH\)

\( = 2\left( {A{H^2} + M{H^2}} \right) + 2M{B^2}\)(vì MB = MC)

\( = 2A{M^2} + 2\frac{{B{C^2}}}{4} = 2A{M^2} + \frac{{B{C^2}}}{2}\) (ĐPCM)

Vậy \(A{B^2} + A{C^2} = 2A{M^2} + \frac{{B{C^2}}}{2}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần (ảnh 1)

Gọi I, E lần lượt là giao điểm của MN với AD, AB

Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại K, G

Ta có:

M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD ⇒ MN là đường trung bình của ∆BCD ⇒ MN // BD

Mà KG // BD ⇒ MN // KG ⇒ K, G ∈ (MNP)

Ta có:

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{E = AB \cap MN \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\\{K \in SB;K \in \left( {MNP} \right) \Rightarrow K \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = KE\)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I = AD \cap MN \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\\{G \in SD;G \in \left( {MNP} \right) \Rightarrow G \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = IG\)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M,K \in \left( {MNP} \right)}\\{M,K \in \left( {SBC} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {MNP} \right) = MK\)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N,G \in \left( {MNP} \right)}\\{N,G \in \left( {SCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SCD} \right) \cap \left( {MNP} \right) = NG\)

Vậy (SAB) ∩ (MNP) = KE; (SAD) ∩ (MNP) = IG; (SBC) ∩ (MNP) = MK; (SCD) ∩ (MNP) = NG.

Câu 2

Tính tổng: \({\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \).

Xem đáp án

Lời giải

\({\sin ^2}2^\circ + {\sin ^2}4^\circ + {\sin ^2}6^\circ + ... + {\sin ^2}84^\circ + {\sin ^2}86^\circ + {\sin ^2}88^\circ \)

\( = \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\sin }^2}88^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}4^\circ + {{\sin }^2}86^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\sin }^2}46^\circ } \right)\)

\( = \left( {{{\sin }^2}2^\circ + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}4^\circ + {{\cos }^2}4^\circ } \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}44^\circ + {{\cos }^2}44^\circ } \right)\) (do 2 góc phụ nhau sin góc này bằng cos góc kia)

= 1 + 1 + 1 +....+ 1 = 22 .

Câu 3