Câu hỏi:
13/07/2024 1,379
Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD.
a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp (P) đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.
Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng α. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD.
a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mp (P) đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.
Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:

a) Dễ thấy thiết diện là hình bình hành MNPQ và SMNPQ = MN . NQ . sin \(\widehat {MNQ}\)
Do MN // AB, NQ // CD nên góc giữa MN và NQ bằng góc giữa AB và CD
Do đó sin \(\widehat {MNQ}\) = sin α
Ta có:

Vậy SMNPQ = \(\frac{{AB.C{\rm{D}}}}{{A{C^2}}}(AC - x)x\sin \alpha \)
Từ đó diện tích thiết diện MNQR đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = \(\frac{{AC}}{2}\)
Như vậy, khi M là trung điểm của AC thì diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi (P) đạt giá trị lớn nhất.
b) Gọi P là nửa chu vi của thiết diện, khi đó:

Từ đó, chu vi thiết diện không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi:
CD – AB = 0
Hay AB = CD
Vậy chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB = CD.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O
Nên O là giao điểm của AC và BD, AB = CD, AD = BC
Suy ra O là trung điểm của AC và BD
Do đó OA = OC, OB = OD
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {O{\rm{D}}} ) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
b) Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {CO} + \overrightarrow {{\rm{DO}}} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {CO} ) + (\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {{\rm{DO}}} ) = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {CA} \)
c) Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow {AC} \)
Ta có
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{\rm{DA}}} = (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {{\rm{DA}}} ) + \overrightarrow {B{\rm{D}}} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} } \right) + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \)
= \(\overrightarrow 0 + \overrightarrow {B{\rm{D}}} = \overrightarrow {B{\rm{D}}} \)
d) Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} ) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:

Do đó :

Vậy ta chọn đáp án D.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.