Hình bình hành ABCD có AD = 2AB.Từ C vẽ CE ⊥ AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF ⊥ CE (F ∈ CE) cắt BC tại N.

a. ∆EMC là tam giác gì?

b. Chứng minh \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hình bình hành ABCD có AD = 2AB.Từ C vẽ CE ⊥ AB. Nối E với trung điểm M (ảnh 1)

a. Ta có MF ⊥ CE và CE ⊥ AB nên MF // AB hay MF // AE.

Hình thang AECD (do AE // CD) có MF // AE // CD

Và M là trung điểm của AD (gt) ⇒ F là trung điểm của EC.

Tam giác MEC có MF là đường trung tuyến (F là trung điểm của EC) và MF là đường cao (do MF ⊥ EC)

⇒ ΔMEC cân tại M.

b. Ta có: AD = 2AB (gt)

AD = 2MD (M là trung điểm của AD)

Và AB = CD (ABCD là hình bình hành) ⇒ MD = CD

Hình bình hành MNCD có MD = CD nên là hình thoi.

⇒ CM là đường phân giác \(\widehat {NCD}\).

Ta có: ΔMEC cân tại M nên MF là tia phân giác của \(\widehat {EMC}\) \( \Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {CMF}\)

Mà \(\widehat {EMF} = \widehat {AEM}\)(2 góc so le trong và AE // MF)

Và \(\widehat {CMF} = \widehat {MCD}\)(2 góc so le trong và MF // CD)

Nên \(\widehat {AEM} = \widehat {MCD}\)

Ta có: \(\widehat {AEM} = \widehat {MCD};2\widehat {MCD} = \widehat {NCD}\)(CM là tia phân giác của \(\widehat {NCD}\)).

Và \(\widehat {NCD} = \widehat {BAD}\)(ABCD là hình bình hành) \( \Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {BAD}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải phương trình: \({\cos ^2}x - \sin 2x = 0\).

Xem đáp án

Lời giải

PT \( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 2\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\cos x = 2\sin x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\tan x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) .

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C kẻ CE ⊥ AB, nối E với trung điểm M của AD, từ M kẻ MF ⊥ CE, MF ∩ BC = N.

a. Hỏi MNCD là hình gì?

b. ∆EMC là tam giác gì?

c. Chứng minh \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông góc AB, nối E với trung (ảnh 1)

a. Ta có: MN // AB // CD (MN và AB cùng vuông góc với CE) và MD // NC (AD // BC)

⇒ MNCD là hình bình hành (1)

MD = \(\frac{{AD}}{2}\); MN = AB = \(\frac{{AD}}{2}\) nên MD = MN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNCD là hình thoi.

b. Do MN // AB // CD (câu a) và M là trung điểm AD

⇒ F là trung điểm EC ⇒ MF là đường trung tuyến của ∆MEC với lại MF là đường cao của ∆MEC (MF ⊥ EC) ⇒ ∆MEC cân tại M

c. ∆MEC cân tại M và MF là đường cao của ∆MEC

⇒ MF là đường phân giác của ∆MEC \( \Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {FMC}\)

\(\widehat {AEM} = \widehat {EMF}\) (AB // MN); \(\widehat {FMC} = \widehat {CMD}\)(MNCD là hình thoi nên đường chéo MC là phân giác

Từ 3 điều trên \( \Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EMF} = \widehat {FMC} = \widehat {CMD} \Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {FMC} + \widehat {CMD}\).

Câu 3