Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\left( 1 \right)\)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2S}}{{bc}} \Rightarrow \cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.\frac{{bc}}{{2S}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\)

Chứng minh tượng tự ta cũng có: \(\cot B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}};\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\)

Do đó: \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải phương trình: \({\cos ^2}x - \sin 2x = 0\).

Xem đáp án

Lời giải

PT \( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 2\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\cos x = 2\sin x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\tan x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) .

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C kẻ CE ⊥ AB, nối E với trung điểm M của AD, từ M kẻ MF ⊥ CE, MF ∩ BC = N.

a. Hỏi MNCD là hình gì?

b. ∆EMC là tam giác gì?

c. Chứng minh \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\)

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông góc AB, nối E với trung (ảnh 1)

a. Ta có: MN // AB // CD (MN và AB cùng vuông góc với CE) và MD // NC (AD // BC)

⇒ MNCD là hình bình hành (1)

MD = \(\frac{{AD}}{2}\); MN = AB = \(\frac{{AD}}{2}\) nên MD = MN (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNCD là hình thoi.

b. Do MN // AB // CD (câu a) và M là trung điểm AD

⇒ F là trung điểm EC ⇒ MF là đường trung tuyến của ∆MEC với lại MF là đường cao của ∆MEC (MF ⊥ EC) ⇒ ∆MEC cân tại M

c. ∆MEC cân tại M và MF là đường cao của ∆MEC

⇒ MF là đường phân giác của ∆MEC \( \Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {FMC}\)

\(\widehat {AEM} = \widehat {EMF}\) (AB // MN); \(\widehat {FMC} = \widehat {CMD}\)(MNCD là hình thoi nên đường chéo MC là phân giác

Từ 3 điều trên \( \Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EMF} = \widehat {FMC} = \widehat {CMD} \Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {FMC} + \widehat {CMD}\).

Câu 3