Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

a. Gọi \(AD \cap BC = K \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SK\)

b. Gọi \(IM \cap AB = E \Rightarrow AB \cap \left( {IJM} \right) = E\)

c. Gọi \(JM \cap BC = F \Rightarrow BC \cap \left( {IJM} \right) = F\)

d. Gọi \(AC \cap BD = G,AG \cap IJ = L,ML \cap SD = N \Rightarrow N = SD \cap \left( {IJM} \right)\)

e. Ta có: \(MN \cap BD = H \Rightarrow H \in \left( {MIJ} \right),H \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow H \in \left( {MNJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)(Hay H thuộc giao tuyến của \(\left( {MNJ} \right);\left( {ABCD} \right)\)

Lại có \(E \in \left( {MIJ} \right) \Rightarrow E \in \left( {MNJ} \right),E \in AB \Rightarrow E \in \left( {ABCD} \right)\)

\(F \in MJ \Rightarrow F \in \left( {MNJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)⇒ H, E, F thẳng hàng (cùng thuộc giao tuyến của (MNJ) và (ABCD).

a. Ta có: MN // AB // CD (MN và AB cùng vuông góc với CE) và MD // NC (AD // BC) 

⇒ MNCD là hình bình hành (1) 

MD = \(\frac{{AD}}{2}\); MN = AB = \(\frac{{AD}}{2}\) nên MD = MN (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ MNCD là hình thoi. 

b. Do MN // AB // CD (câu a) và M là trung điểm AD 

⇒ F là trung điểm EC ⇒ MF là đường trung tuyến của ∆MEC  với lại MF là đường cao của ∆MEC (MF ⊥ EC) ⇒ ∆MEC cân tại M 

c. ∆MEC cân tại M và MF là đường cao của ∆MEC 

⇒ MF là đường phân giác của ∆MEC \( \Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {FMC}\) 

\(\widehat {AEM} = \widehat {EMF}\) (AB // MN); \(\widehat {FMC} = \widehat {CMD}\)(MNCD là hình thoi nên đường chéo MC là phân giác

Từ 3 điều trên \( \Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EMF} = \widehat {FMC} = \widehat {CMD} \Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {FMC} + \widehat {CMD}\).