Cho ∆ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AC, AB lần lượt tại I, K. So sánh các cung nhỏ BI và cung nhỏ CK.

a. Gọi \(AD \cap BC = K \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SK\)

b. Gọi \(IM \cap AB = E \Rightarrow AB \cap \left( {IJM} \right) = E\)

c. Gọi \(JM \cap BC = F \Rightarrow BC \cap \left( {IJM} \right) = F\)

d. Gọi \(AC \cap BD = G,AG \cap IJ = L,ML \cap SD = N \Rightarrow N = SD \cap \left( {IJM} \right)\)

e. Ta có: \(MN \cap BD = H \Rightarrow H \in \left( {MIJ} \right),H \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow H \in \left( {MNJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)(Hay H thuộc giao tuyến của \(\left( {MNJ} \right);\left( {ABCD} \right)\)

Lại có \(E \in \left( {MIJ} \right) \Rightarrow E \in \left( {MNJ} \right),E \in AB \Rightarrow E \in \left( {ABCD} \right)\)

\(F \in MJ \Rightarrow F \in \left( {MNJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)⇒ H, E, F thẳng hàng (cùng thuộc giao tuyến của (MNJ) và (ABCD).

a. Ta có: MN // AB // CD (MN và AB cùng vuông góc với CE) và MD // NC (AD // BC) 

⇒ MNCD là hình bình hành (1) 

MD = \(\frac{{AD}}{2}\); MN = AB = \(\frac{{AD}}{2}\) nên MD = MN (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ MNCD là hình thoi. 

b. Do MN // AB // CD (câu a) và M là trung điểm AD 

⇒ F là trung điểm EC ⇒ MF là đường trung tuyến của ∆MEC  với lại MF là đường cao của ∆MEC (MF ⊥ EC) ⇒ ∆MEC cân tại M 

c. ∆MEC cân tại M và MF là đường cao của ∆MEC 

⇒ MF là đường phân giác của ∆MEC \( \Rightarrow \widehat {EMF} = \widehat {FMC}\) 

\(\widehat {AEM} = \widehat {EMF}\) (AB // MN); \(\widehat {FMC} = \widehat {CMD}\)(MNCD là hình thoi nên đường chéo MC là phân giác

Từ 3 điều trên \( \Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {EMF} = \widehat {FMC} = \widehat {CMD} \Rightarrow 2\widehat {AEM} = \widehat {FMC} + \widehat {CMD}\).