Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi α là mặt phẳng đi qua CD’ và tạo với mặt phẳng (A'B'C'D') một góc φ với tanφ=52. Mặt phẳng α chia khối lặp phương thành hai khối đa diện có thể tí...

Chọn D Mặt phẳng α là mặt phẳng đi qua CD’ và cắt C'B' tại I ⇒A'B'C'D'∩α=D'I. Kẻ C'H⊥DI⇒DI⊥CH⇒φ=CHC'^. Ta có ΔCC'H vuông tại C'⇒C'H=C'C.cotφ=2a5. Ta có ΔC'D'I vuông tại 1C'H2=1C'D'2+1C'I2⇒C'I2=4a2⇒C'I=2a. Ta thấy với C'I = 2a thì CI∩B'B=Q nên Q là trung điểm BB'. D'I∩A'B'=P nên P là trung điểm A'B'. Ta có: VI.CC'D'=VI.B'PQ+VCD'C'.QPB'⇒VCD'C'.QPB'=VI.CC'D'−VI.B'PQ=13.2a.12a.a−13.a.12a.a=7a324=V2 Vì VABCD.A'B'C'D'=V1+V2=V1+VCD'C'.QPB'⇒V1=VABCD.A'B'C'D'−VCD'C'.QPB'=a3−7a324=17a324. Vậy V1=17a324.

Câu hỏi:

02/05/2023 1,425

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi $(α)$ là mặt phẳng đi qua CD’ và tạo với mặt phẳng (A'B'C'D') một góc $φ$ với $\tan φ = \frac{\sqrt{5}}{2}$ . Mặt phẳng $(α)$ chia khối lặp phương thành hai khối đa diện có thể tích là $V_{1}, V_{2}$ với $V_{1} > V_{2}$ . Tính V₁.

A. $V_{1} = \frac{7}{12} a^{3}$

B. $V_{1} = \frac{10}{17} a^{3}$

C. $V_{1} = \frac{7}{24} a^{3}$

D. $V_{1} = \frac{17}{24} a^{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: (2023) Đề thi thử Toán THPT Liên Trường Nghê An có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi góc anpha là mặt phẳng đi qua CD’ và tạo với mặt phẳng (A'B'C'D') một góc (ảnh 1)

Mặt phẳng $(α)$ là mặt phẳng đi qua CD’ và cắt C'B' tại I $\Rightarrow (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \cap (α) = D^{'} I$ .

Kẻ $C^{'} H ⊥ D I \Rightarrow D I ⊥ C H \Rightarrow φ = \hat{C H C^{'}}$ .

Ta có $Δ C C^{'} H$ vuông tại $C^{'} \Rightarrow C^{'} H = C^{'} C . \cot φ = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$ .

Ta có $Δ C^{'} D^{'} I$ vuông tại $\frac{1}{C^{'} H^{2}} = \frac{1}{C^{'} {D^{'}}^{2}} + \frac{1}{C^{'} I^{2}} \Rightarrow C^{'} I^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow C^{'} I = 2 a$ .

Ta thấy với C'I = 2a thì $C I \cap B^{'} B = Q$ nên Q là trung điểm BB'.

$D^{'} I \cap A^{'} B^{'} = P$ nên P là trung điểm A'B'.

Ta có:

$V_{I . C C^{'} D^{'}} = V_{I . B^{'} P Q} + V_{C D^{'} C^{'} . Q P B^{'}} \Rightarrow V_{C D^{'} C^{'} . Q P B^{'}} = V_{I . C C^{'} D^{'}} - V_{I . B^{'} P Q} = \frac{1}{3} .2 a . \frac{1}{2} a . a - \frac{1}{3} . a . \frac{1}{2} a . a = \frac{7 a^{3}}{24} = V_{2}$

Vì $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = V_{1} + V_{2} = V_{1} + V_{C D^{'} C^{'} . Q P B^{'}} \Rightarrow V_{1} = V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - V_{C D^{'} C^{'} . Q P B^{'}} = a^{3} - \frac{7 a^{3}}{24} = \frac{17 a^{3}}{24}$ .