Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{5}{x}^5-\frac{m}{2}{x}^4+\frac{4\left(m+3\right)}{3}{x}^3-\left(m+7\right)x^2$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$ có đúng một điểm cực đại?

Chọn B

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x^4-2m{x}^3+4\left(m+3\right)x^2-2\left(m+7\right)x=2x\left[x^3-m{x}^2+2\left(m+3\right)x-m-7\right]$

Ta thấy phương trình $x^3-m{x}^2+2\left(m+3\right)x-m-7=0$ có nghiệm là $x=1$

Áp dụng sơ đồ Horner:

$\begin{array}{ccccc}& 1& -m& 2m+6& -m-7\\ 1& 1& 1-m& m+7& 0\end{array}$

Khi đó ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 2x\left(x-1\right)\left[x^2+\left(1-m\right)x+m+7\right]=0$

Do $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên để hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$ có đúng một điểm cực đại khi $f\left(x\right)$ có một điểm cực trị dương.

TH1: Phương trình $x^2+\left(1-m\right)x+m+7=0$ có hai nghiệm phân biệt không dương

$\iff \left\{\begin{array}{c}{\left(1-m\right)}^2-4\left(m+7\right)>0\\ m-1\le 0\\ m+7\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-6m-27>0\\ m\le 1\\ m\ge -7\end{array}\right.\iff -7\le m<-3\Rightarrow m\in \left\{-7;-6;-5;-4\right\}$.

TH2: Phương trình $x^2+\left(1-m\right)x+m+7=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\iff {\left(1-m\right)}^2-4\left(m+7\right)\le 0\iff m^2-6m-27\le 0\iff -3\le m\le 9\Rightarrow m\in \left\{-3;-2;\mathrm{...};9\right\}$.

TH3: Phương trình $x^2+\left(1-m\right)x+m+7=0$ có nghiệm $x=1$.

$\iff 1^2+\left(1-m\right)1+m+7=0\iff 9=0$ (Vô lý).

Vậy $m\in \left\{-7;-6;\mathrm{...};8;9\right\}$.