Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-10;10\right]$ để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc $\widehat{AOB}$ nhọn?

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị

$$\begin{gathered} \frac{x+1}{x-1}=2x+m\iff x+1=\left(2x+m\right)\left(x-1\right)\iff x+1=2x^2-2x+mx-m \\ \iff 2x^2+\left(m-3\right)x-m-1=0 \end{gathered}$$

Đặt $g\left(x\right)=2x^2+\left(m-3\right)x-m-1$

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_A, x_B$ khác 1, nghĩa là

$\left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ g\left(1\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m-3\right)}^2+8\left(m+1\right)>0\\ 2+m-3-m-1\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-6m+9+8m+8>0\\ -2\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+2m+17>0\\ -2\ne 0\end{array}\right.$ (đúng)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}S=x_A+x_B=\frac{3-m}{2}\\ P=x_A{x}_B=-\frac{m+1}{2}\end{array}\right.$

Từ đó suy ra tọa độ điểm $A\left(x_A;2x_A+m\right), B\left(x_B;2x_B+m\right)$

Ta có $OA=\sqrt{x_A^2+{\left(2x_A+m\right)}^2}, OB=\sqrt{x_B^2+{\left(2x_B+m\right)}^2}$,

$AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(2x_B-2x_A\right)}^2}=\sqrt{5{\left(x_B-x_A\right)}^2}$

Áp dụng định lý cos trong $\Delta OAB$ ta có

$\cos \widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2OA.OB}$

Theo đề, góc $\widehat{AOB}$ nhọn nên

$$\begin{gathered} \cos \widehat{AOB}>0\iff \frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2OA.OB}>0\iff O{A}^2+O{B}^2>A{B}^2 \\ \iff x_A^2+{\left(2x_A+m\right)}^2+x_B^2+{\left(2x_B+m\right)}^2>5{\left(x_B-x_A\right)}^2 \\ \iff x_A^2+4x_A^2+4m\left(x_A+x_B\right)+x_B^2+4x_B^2+2m^2>5\left(x_A^2-2x_A{x}_B+x_B^2\right) \\ \iff 4m\left(x_A+x_B\right)+2m^2>-10x_A{x}_B \\ \iff 4mS+2m^2>-10P\iff 4m\left(\frac{3-m}{2}\right)+2m^2>\frac{10\left(m+1\right)}{2} \\ \iff 2m\left(3-m\right)+2m^2>5\left(m+1\right)\iff 6m-2m^2+2m^2>5m+5\iff m>5 \end{gathered}$$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[-10;10\right]$ nên suy ra $m\in \left\{6;7;8;9;10\right\}$

Vậy có 5 giá trị m thỏa đề.