Trong không gian, cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} } \right| = 42\).

Lời giải:

Gọi I là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), tức là \(\overrightarrow {IA} =  - \frac{3}{2}\overrightarrow {IB} \), suy ra điểm I thuộc đoạn thẳng AB sao cho \(IA = \frac{3}{2}IB\).

Vì A, B cố định nên I cố định.

Ta có: \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)} \right|\)

\( = \left| {5\overrightarrow {MI} + \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)} \right| = \left| {5\overrightarrow {MI} } \right| = 5MI\).

Để \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} } \right| = 42\) thì 5MI = 42, suy ra \(MI = \frac{{42}}{5}\), do đó điểm M luôn cách điểm I cố định một đoạn bằng \(\frac{{42}}{5}\).

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn cố định tâm I, bán kính bằng \(\frac{{42}}{5}\).