Câu hỏi:
12/07/2024 1,068
Rút gọn biểu thức: \(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right).\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right).....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Ta có công thức: \(1 - \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{{k^2} - {1^2}}}{{{k^2}}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{{{k^2}}}\)
Áp dụng công thức trên ta được:
\(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{4^2}}}} \right)....\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{2^2} - {1^2}}}{{{2^2}}}.\frac{{{3^2} - {1^2}}}{{{3^2}}}.\frac{{{4^2} - {1^2}}}{{{4^2}}}....\frac{{{n^2} - {1^2}}}{{{n^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {2 + 1} \right)\left( {2 - 1} \right)}}{{2.2}}.\frac{{\left( {3 + 1} \right)\left( {3 - 1} \right)}}{{3.3}}.\frac{{\left( {4 + 1} \right)\left( {4 - 1} \right)}}{{4.4}}....\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{n.n}}\)
\( = \frac{{1.3}}{{2.2}} = \frac{{2.4}}{{3.3}} = \frac{{3.5}}{{4.4}}....\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{n.n}} = \frac{{\left[ {1.2.3...\left( {n + 1} \right)} \right].\left[ {3.4.5...\left( {n - 1} \right)} \right]}}{{\left( {2.3.4...n} \right)\left( {2.3.4...n} \right)}}\)
\( = \left( {n + 1} \right).\frac{1}{{2n}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Xem đáp án »
12/07/2024
37,913
Câu 2:
Cho ∆ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Tính số đo góc A, diện tích S của tam giác ABC, đường cao kẻ từ đỉnh A là ha và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Xem đáp án »
12/07/2024
19,852
Câu 3:
Cho ∆ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.
Xem đáp án »
12/07/2024
11,648
Câu 4:
Cho ∆ABC biết b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}\). Tính S, R, r.
Xem đáp án »
12/07/2024
9,936
Câu 5:
Cho \(\cos a = \frac{5}{{13}};\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi \). Tính giá trị của sina; tana; cota.
Xem đáp án »
12/07/2024
8,229
Câu 6:
Cho ∆ABC vuông tại B. Lấy M trên AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BM lần lượt tại H và K.
a. Chứng minh CK = BH.tanBAC.
b. Chứng minh \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH.{{\tan }^2}BAC}}{{BK}}\).
Cho ∆ABC vuông tại B. Lấy M trên AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BM lần lượt tại H và K.
a. Chứng minh CK = BH.tanBAC.
b. Chứng minh \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH.{{\tan }^2}BAC}}{{BK}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
6,210
Câu 7:
Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
Chứng minh rằng \({b^2} - {c^2} = a\left( {b.cosC - c.cosB} \right)\).
Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
Chứng minh rằng \({b^2} - {c^2} = a\left( {b.cosC - c.cosB} \right)\).
Xem đáp án »
12/07/2024
5,989
về câu hỏi!