Câu hỏi:

19/08/2025 1,359

Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H.

a) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng: ABEC là tứ giác nội tiếp.

b) Tính HD và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC biết HA = 7 cm, HB = 2 cm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Media VietJack

a) ΔABC cân tại A có đường cao AD

⇒ AD đồng thời là đường trung tuyến của ΔABC ⇒ D là trung điểm BC.

Mà D là trung điểm EH (vì E và H đối xứng qua D).

⇒ Tứ giác BECH là hình bình hành.

Ta lại có: BC ⊥ EH tại D ⇒ BECH là hình thoi ⇒ BH = BE.

BE // CH; CE // BH; H là trực tâm ΔABC ⇒ CH ⊥ AB ⇒ BE ⊥ AB

BH ⊥ AC ⇒ CE ⊥ AC

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACE} = 90^\circ ;\widehat {ABE} + \widehat {ACE} = 180^\circ \)

⇒ ABEC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AE (với O là trung điểm AE).

b) Ta có: BE = HB; DE = HD (câu a)

AE = HA + HD + DE = HA + 2HD

Đặt HD = x (x > 0)

HA = 7 cm; HB = 2 cm

ΔABE vuông tại B đường cao BD

\( \Rightarrow B{E^2} = DE.AE\) (hệ thức lượng trong ∆ vuông)

⇔ \(H{B^2}\)= HD.(HA + 2HD)

⇔ 22 = x(7 + 2x)

⇔ \(2{x^2}\)+ 7x – 4 = 0

⇔ \(2{x^2}\)+ 8x – x – 4 = 0

⇔ 2x(x + 4) − (x + 4) = 0

⇔ (x + 4)(2x − 1) = 0

⇔ x = −4 (loại) hoặc x = 0,5 (nhận)

⇒ HD = x = 0,5 cm

⇒ AE = HA + 2HD = 7 + 2.0,5 = 8 cm

⇒ R = OA = 12AE = 12.8 = 4 cm

Vậy HD = 0,5cm và bán kính đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC là R = 4 cm.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) ∆AOB cân tại O.

b) ∆ABD = ∆BAC.

c) EC = ED.

d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Media VietJack

a) ABCD là hình thang cân

\( \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {ADC} \Leftrightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

\(\Delta ODC,\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

⇒ ΔODC cân tại O ⇒ OC = OD

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân) ⇒ OA = OB ⇒ ΔOAB cân tại O

b) ABCD là hình thang cân

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {ABC}\)

Xét ∆BAD và ∆ABC: BA chung; AD = BC; \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta BAD = \Delta ABC\)

c) ∆BAD = ∆ABC \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Mà \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD} \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{C_2}}\)

⇒ ΔDEC cân tại E

d) EC = ED

Mà AC = BD (ABCD là hình thang cân)

⇒ EA = EB

Lại có OA = OB

⇒ OE là đường trung trực AB

OD = OC; EC = ED

⇒ OE là đường trung trực CD.

Câu 2

Cho ∆ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Media VietJack

Xét ΔABC có \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AC}}\)

Do đó: DE // CB

Xét tứ giác BEDC có DE // BC nên BEDC là hình thang

Mà \(\widehat {EBC} = \widehat {DCB}\) nên BEDC là hình thang cân

Vậy BEDC là hình thang cân.

Câu 3