Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m² – 1)x³ + (m – 1)x² – x + 4 nghịch biến trên khoảng (– ∞; + ∞)?

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

TH1: m² – 1 = 0 ⇔ m = ±1.

+ Với m = 1 ta có: y = −x + 4 nghịch biến trên ℝ ⇒ m = 1 thỏa mãn.

+ Với m = − 1,  ta có y = −2x² – x + 4 là 1 parabol đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).

⇒ m = −1 không thỏa mãn.

TH2: m² – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1.

Ta có: y′ = 3(m² – 1)x² + 2(m – 1)x – 1

Hàm só nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi:

y′ ≤ 0 ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\4{m^2} - 2m - 2 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\ - \frac{1}{2} \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le m < 1\)

Vì m ∈ ℤ nên m = 0