Giải phương trình \(\frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}} + \frac{{ydy}}{{1 + {y^2}}} = 0\left( 1 \right)\).

Lời giải:

Dễ dàng thấy (1) là phương trình vi phân tách biến

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}} = - \frac{{ydy}}{{1 + {y^2}}}\)

Lấy tích phân 2 về ta được: \(\int {\frac{{xdx}}{{1 + {x^2}}}} = - \int {\frac{{ydy}}{{1 + {y^2}}}} \Rightarrow \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} = - \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} \)

\( \Rightarrow \ln \left( {1 + {x^2}} \right) = - \ln \left( {1 + {y^2}} \right) + {C_1} \Rightarrow \ln \left( {1 + {x^2}} \right) + \ln \left( {1 + {y^2}} \right) = \ln C,\left( {\ln C = {C_1}} \right)\)

\( \Rightarrow \ln \left[ {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)} \right] = \ln C \Rightarrow \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right) = C\)

Vậy nghiệm tổng quát của PT là \(\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right) = C\).