Câu hỏi:
11/07/2024 1,026
Tìm số tư nhiên n dương để số \({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1\) là một số nguyên tố.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
\({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1 = {n^{2021}} - {n^2} + {n^{2020}} - n + {n^2} + n + 1\)
\( = {n^2}\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + n\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right)\)
\( = n\left( {n + 1} \right)\left( {{n^{2019}} - 1} \right) + \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( 1 \right)\)
Để ý rằng, 2019 \( \vdots \) 3 và 2019 = 3 x 673. Nên nếu ta đặt A = \({n^3}\)thì \({n^{2019}} = {A^{673}}\)
Mặt khác, áp dụng hằng đẳng thức sau:
\({a^k} - {b^k} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^{k - 1}} + {a^{k - 2}}b + {a^{k - 3}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{k - 2}} + {b^{k - 1}}} \right)\)
Ta có \({n^{2019}} - 1 = {A^{673}} - 1 = {A^{673}} - 1 = \left( {A - 1} \right)\left( {{A^{672}} + {A^{671}} + ... + {A^1} + 1} \right)\)
Vậy suy ra \({n^{2019}} - 1 \vdots \left( {A - 1} \right)\)hay \({n^{2019}} - 1 \vdots \left( {{n^3} - 1} \right)\)
Mà \({n^3} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right) \Rightarrow \left( {{n^{2019}} - 1} \right) \vdots \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left( {{n^{2021}} + {n^{2020}} + 1} \right) \vdots \left( {{n^2} + n + 1} \right)\)
Như vậy để \({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1\) là số nguyên tố thì có 2 trường hợp:
(1) \({n^2} + n + 1 = 1\), trường hợp này không xảy ra do n > 0 (gt)
(2) \({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1 = {n^2} + n + 1\) hay \({n^{2020}}\left( {n + 1} \right) = n\left( {n + 1} \right)\)
\( \Rightarrow n\left( {n + 1} \right)\left( {{n^{2019}} - 1} \right) = 0\), do n > 0 nên \({n^{2019}} - 1 = 0\) hay n = 1
Thử lại ta có \({n^{2021}} + {n^{2020}} + 1 = {1^{2021}} + {1^{2020}} + 1 = 3\) là số nguyên tố.
Vậy n = 1 là đáp án cần tìm.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi O là giao điểm của AD và BC; gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) ∆AOB cân tại O.
b) ∆ABD = ∆BAC.
c) EC = ED.
d) OE là đường trung trực chung của AB và CD.
Xem đáp án »
12/07/2024
38,180
Câu 2:
Cho ∆ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Tính số đo góc A, diện tích S của tam giác ABC, đường cao kẻ từ đỉnh A là ha và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Xem đáp án »
12/07/2024
19,923
Câu 3:
Cho ∆ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.
Xem đáp án »
12/07/2024
11,701
Câu 4:
Cho ∆ABC biết b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}\). Tính S, R, r.
Xem đáp án »
12/07/2024
10,001
Câu 5:
Cho \(\cos a = \frac{5}{{13}};\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi \). Tính giá trị của sina; tana; cota.
Xem đáp án »
12/07/2024
8,247
Câu 6:
Cho ∆ABC vuông tại B. Lấy M trên AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BM lần lượt tại H và K.
a. Chứng minh CK = BH.tanBAC.
b. Chứng minh \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH.{{\tan }^2}BAC}}{{BK}}\).
Cho ∆ABC vuông tại B. Lấy M trên AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BM lần lượt tại H và K.
a. Chứng minh CK = BH.tanBAC.
b. Chứng minh \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{BH.{{\tan }^2}BAC}}{{BK}}\).
Xem đáp án »
12/07/2024
6,250
Câu 7:
Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
Chứng minh rằng \({b^2} - {c^2} = a\left( {b.cosC - c.cosB} \right)\).
Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
Chứng minh rằng \({b^2} - {c^2} = a\left( {b.cosC - c.cosB} \right)\).
Xem đáp án »
12/07/2024
6,001
về câu hỏi!