Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ  AH vuông góc với BC. Từ H vẽ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt đường tròn (O; R) tại K

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Chứng minh AE vuông góc với MN.

c) Chứng minh AH = AK.

Lời giải

a) Vì HM ⊥ AB, HN ⊥ AC

Nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat {HMA} + \widehat {HNA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH

b) Dựng Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AE

Xét (O) có \(\widehat {xAB},\widehat {ACB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cũng chắn cung AB

Suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {ACB}\)                             (1)

Vì tam giác HNC vuông ở N nên \(\widehat {NHC} + \widehat {NCH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {NHC} + \widehat {NHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {NCH}\)                            (2)

Xét đường tròn đường kính AH có \(\widehat {AMN},\widehat {AHN}\) là hai góc nội tiếp chắn cung AN

Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\)                           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {AMN}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra Ax // MN

Mà Ax ⊥ AE

Do đó MN ⊥ AE

c) Vì tam giác ACE nội tiếp (O) đường kính AE

Nên tam giác ACE vuông ở C

Hay \(\widehat {AC{\rm{E}}} = 90^\circ \)

Xét tam giác AHC vuông ở H có HN ⊥ AC nên AC . AN = AH² (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét △AIN và △ACE có

\(\widehat {CA{\rm{E}}}\) là góc chung

\(\widehat {AIN} = \widehat {AC{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{A{\rm{E}}}}\)

Do đó AI . AE = AC . AN = AH²

Vì tam giác AKE nội tiếp (O) đường kính AE

Nên tam giác AKE vuông ở K

Lại có KI ⊥ AE

Nên AK² = AI . AE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AI . AE = AH² (chứng minh trên)

Suy ra AH = AK

Vậy AH = AK.