Câu hỏi:
12/07/2024 4,624
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ AH vuông góc với BC. Từ H vẽ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt đường tròn (O; R) tại K
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.
b) Chứng minh AE vuông góc với MN.
c) Chứng minh AH = AK.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ AH vuông góc với BC. Từ H vẽ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt đường tròn (O; R) tại K
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.
b) Chứng minh AE vuông góc với MN.
c) Chứng minh AH = AK.
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Vì HM ⊥ AB, HN ⊥ AC
Nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \)
Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat {HMA} + \widehat {HNA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH
b) Dựng Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AE
Xét (O) có \(\widehat {xAB},\widehat {ACB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cũng chắn cung AB
Suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {ACB}\) (1)
Vì tam giác HNC vuông ở N nên \(\widehat {NHC} + \widehat {NCH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà \(\widehat {NHC} + \widehat {NHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {NCH}\) (2)
Xét đường tròn đường kính AH có \(\widehat {AMN},\widehat {AHN}\) là hai góc nội tiếp chắn cung AN
Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {AMN}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
Suy ra Ax // MN
Mà Ax ⊥ AE
Do đó MN ⊥ AE
c) Vì tam giác ACE nội tiếp (O) đường kính AE
Nên tam giác ACE vuông ở C
Hay \(\widehat {AC{\rm{E}}} = 90^\circ \)
Xét tam giác AHC vuông ở H có HN ⊥ AC nên AC . AN = AH2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét △AIN và △ACE có
\(\widehat {CA{\rm{E}}}\) là góc chung
\(\widehat {AIN} = \widehat {AC{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{A{\rm{E}}}}\)
Do đó AI . AE = AC . AN = AH2
Vì tam giác AKE nội tiếp (O) đường kính AE
Nên tam giác AKE vuông ở K
Lại có KI ⊥ AE
Nên AK2 = AI . AE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AI . AE = AH2 (chứng minh trên)
Suy ra AH = AK
Vậy AH = AK.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm giao điểm Q của SD và (MNP).
Xem đáp án »
12/07/2024
14,275
Câu 2:
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC . BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.
b) Chứng minh AC . BD = R2.
c) Kẻ MH vuông góc AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.
Xem đáp án »
12/07/2024
8,043
Câu 3:
Cho hàm số y = 2x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ và đơn vị trên các trục tọa độ là cm).
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
Cho hàm số y = 2x + 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ và đơn vị trên các trục tọa độ là cm).
c) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
Xem đáp án »
12/07/2024
6,126
Câu 4:
Cho \(\cos a = - \frac{2}{5}\). Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a biết a ∈ (0; 2π).
Xem đáp án »
12/07/2024
4,852
Câu 5:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để tập hợp (1; m) chứa đúng hai số nguyên dương.
Xem đáp án »
12/07/2024
4,738
Câu 6:
Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,937
về câu hỏi!