Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0\).

Lời giải

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AC.

Gọi K là trọng tâm của tam giác JBC.

Theo đề, ta có \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0\).

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\)

\[ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {MJ} + 2\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\]

\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = \vec 0\]

\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MI} .3\overrightarrow {MK} = \vec 0\]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {MK} = \vec 0\]

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} \bot \overrightarrow {MK} \)

\( \Leftrightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ \).

Khi đó ta thấy điểm M luôn nhìn đoạn IK một góc 90°.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn đường kính IK.