Cho mười chữ số 0, 1, 2, 3, …, 9. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600000 được xây dựng từ 10 số trên.

Lời giải

Gọi số cần tìm là \(n = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \), với 1 ≤ a₁ ≤ 5 và a₆ lẻ.

Đặt X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Trường hợp 1: a₁ lẻ.

Do a₁ ∈ {1; 3; 5} nên a₁ có 3 cách chọn.

Do a₆ ∈ {1; 3; 5; 7; 9} và bỏ đi {a₁} nên a₆ có 4 cách chọn.

Do a₂ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆} nên a₂ có 8 cách chọn.

Do a₃ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂} nên a₃ có 7 cách chọn.

Do a₄ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃} nên a₄ có 6 cách chọn.

Do a₅ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃, a₄} nên a₅ có 5 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có 3.4.8.7.6.5 = 20160 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 1.

Trường hợp 2: a₁ chẵn.

Do a₁ ∈ {2; 4} nên a₁ có 2 cách chọn.

Do a₆ ∈ {1; 3; 5; 7; 9} nên a₆ có 5 cách chọn.

Do a₂ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆} nên a₂ có 8 cách chọn.

Do a₃ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂} nên a₃ có 7 cách chọn.

Do a₄ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃} nên a₄ có 6 cách chọn.

Do a₅ ∈ X và bỏ đi {a₁, a₆, a₂, a₃, a₄} nên a₅ có 5 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có 2.5.8.7.6.5 = 16800 số tự nhiên thỏa mãn trường hợp 2.

Vậy theo quy tắc cộng, ta có tất cả 20160 + 16800 = 36960 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.