Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7(x² + xy + y²) = 39(x + y).

Lời giải

Ta có 7(x² + xy + y²) = 39(x + y).

⇔ 7.[(x + y)² – xy] = 39(x + y).

⇔ 7(x + y)² – 39(x + y) = 7xy.

⇔ 28(x + y)² – 156(x + y) = 7.4xy   (1)

Ta có (x – y)² ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ x² – 2xy + y² ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ x² + 2xy + y² ≥ 4xy, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ (x + y)² ≥ 4xy, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ 7(x + y)² ≥ 7.4xy, ∀x, y ∈ ℝ.

⇔ 7(x + y)² ≥ 28(x + y)² – 156(x + y), ∀x, y ∈ ℝ   (2)

Đặt t = x + y.

Khi đó (2) tương đương với: 7t² ≥ 28t² – 156t.

⇔ 21t² – 156t ≤ 0.

⇔ t(21t – 156) ≤ 0.

\[ \Leftrightarrow 0 \le t \le \frac{{52}}{7}\].

⇔ 0 ≤ t ≤ 7.

Thế t = x + y vào (1), ta được: 7t² – 39t = 7xy.

\( \Leftrightarrow {t^2} - \frac{{39}}{7}t = xy\).

Vì x, y là các số nguyên nên t nguyên và xy nguyên.

Khi đó \(\frac{{39}}{7}t\) nguyên.

Vì vậy t ⋮ 7.

Mà 0 ≤ t ≤ 7.

Suy ra t = 0 hoặc t = 7.

Với t = 0, ta có: x + y = 0 ⇔ x = –y.

Thế x = –y vào phương trình ban đầu, ta được: 7(y² – y² + y²) = 39(–y + y).

⇔ 7y² = 0 ⇔ y² = 0 ⇔ y = 0.

Khi đó x = –y = 0.

Với t = 7, ta có: x + y = 7 ⇔ x = 7 – y.

Thế x = 7 – y vào phương trình ban đầu, ta được:

7[(7 – y)² + (7 – y)y + y²] = 39(7 – y + y).

⇔ 7.(49 – 14y + y² + 7y – y² + y²) = 273.

⇔ 7.(49 – 7y + y²) = 273.

⇔ 343 – 49y + 7y² = 273.

⇔ 70 – 49y + 7y² = 0.

⇔ 7(y – 5)(y – 2) = 0.

⇔ y = 5 hoặc y = 2.

Với y = 5, ta có: x = 7 – y = 7 – 5 = 2.

Với y = 2, ta có: x = 7 – y = 7 – 2 = 5.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 0), (2; 5), (5; 2).