Câu hỏi:
13/07/2024 3,284
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y).
Câu hỏi trong đề:
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Ta có 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y).
⇔ 7.[(x + y)2 – xy] = 39(x + y).
⇔ 7(x + y)2 – 39(x + y) = 7xy.
⇔ 28(x + y)2 – 156(x + y) = 7.4xy (1)
Ta có (x – y)2 ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ.
⇔ x2 – 2xy + y2 ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ.
⇔ x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy, ∀x, y ∈ ℝ.
⇔ (x + y)2 ≥ 4xy, ∀x, y ∈ ℝ.
⇔ 7(x + y)2 ≥ 7.4xy, ∀x, y ∈ ℝ.
⇔ 7(x + y)2 ≥ 28(x + y)2 – 156(x + y), ∀x, y ∈ ℝ (2)
Đặt t = x + y.
Khi đó (2) tương đương với: 7t2 ≥ 28t2 – 156t.
⇔ 21t2 – 156t ≤ 0.
⇔ t(21t – 156) ≤ 0.
\[ \Leftrightarrow 0 \le t \le \frac{{52}}{7}\].
⇔ 0 ≤ t ≤ 7.
Thế t = x + y vào (1), ta được: 7t2 – 39t = 7xy.
\( \Leftrightarrow {t^2} - \frac{{39}}{7}t = xy\).
Vì x, y là các số nguyên nên t nguyên và xy nguyên.
Khi đó \(\frac{{39}}{7}t\) nguyên.
Vì vậy t ⋮ 7.
Mà 0 ≤ t ≤ 7.
Suy ra t = 0 hoặc t = 7.
Với t = 0, ta có: x + y = 0 ⇔ x = –y.
Thế x = –y vào phương trình ban đầu, ta được: 7(y2 – y2 + y2) = 39(–y + y).
⇔ 7y2 = 0 ⇔ y2 = 0 ⇔ y = 0.
Khi đó x = –y = 0.
Với t = 7, ta có: x + y = 7 ⇔ x = 7 – y.
Thế x = 7 – y vào phương trình ban đầu, ta được:
7[(7 – y)2 + (7 – y)y + y2] = 39(7 – y + y).
⇔ 7.(49 – 14y + y2 + 7y – y2 + y2) = 273.
⇔ 7.(49 – 7y + y2) = 273.
⇔ 343 – 49y + 7y2 = 273.
⇔ 70 – 49y + 7y2 = 0.
⇔ 7(y – 5)(y – 2) = 0.
⇔ y = 5 hoặc y = 2.
Với y = 5, ta có: x = 7 – y = 7 – 5 = 2.
Với y = 2, ta có: x = 7 – y = 7 – 2 = 5.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: (x; y) = (0; 0), (2; 5), (5; 2).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai tập hợp X = (0; 3] và Y = (a; 4). Tìm tất cả các giá trị của a ≤ 4 để X ∩ Y ≠ ∅.
Xem đáp án »
17/05/2023
14,791
Câu 2:
Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
Xem đáp án »
13/07/2024
6,526
Câu 3:
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).
Xem đáp án »
13/07/2024
5,824
Câu 4:
Cho tam giác ABC. Hãy tìm các điểm M thỏa các điều kiện:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).
d) \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right|\).
Cho tam giác ABC. Hãy tìm các điểm M thỏa các điều kiện:
a) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \).
b) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \).
c) \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {BA} \).
d) \(\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right|\).
Xem đáp án »
11/07/2024
4,238
Câu 5:
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.
Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \(\widehat {BAC} = 60^\circ \), AH = 4 cm.
c) AH giao BC tại D. Chứng minh FH là tia phân giác của \(\widehat {DFE}\).
d) Chứng minh 2 tiếp tuyến của (O) tại E, F và AH đồng quy tại một điểm.
Xem đáp án »
13/07/2024
3,657
Câu 6:
Cho tam giác ABC, hai điểm M, N được xác định bởi \(3\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\); \(\overrightarrow {NB} - 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\). Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.
Xem đáp án »
12/07/2024
3,461
về câu hỏi!