Câu hỏi:
13/07/2024 665Từ điểm A nằm ngoài đường tròn O, vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Gọi D là điểm đối xứng với B qua O, vẽ cát tuyến AEF, DE và DF cắt AO tại M và N. Chứng minh rằng OM = ON.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
Dễ dàng chứng minh được AO vuông góc BC và BC vuông góc CD, do đó AO song song với CD
\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {CDE}\) (2 góc đồng vị)
Lại có \[\widehat {CDE} = \widehat {ACE}\] (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE của đường tròn tâm O)
\( \Rightarrow \widehat {EMA} = \widehat {ECA}\)
Do đó, Tứ giác EMCA nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {CEF} = \widehat {CMN}\) (1)
\( \Rightarrow \widehat {CAM} = \widehat {CEM}\)
Hay \(\widehat {CED} = \widehat {CFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đtròn tâm O)
\(\widehat {CAN} = \widehat {CFN}\)
Do đó, Tứ giác CAFN nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {CFA} = \widehat {CNA} \Rightarrow \widehat {CFE} = \widehat {CNM}\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác CEF đồng dạng với tam giác CMN (g.g)
Vì AO song song với CD (cmt) nên MN song song với CD , do đó tứ giác MNDC là hình thang.
\(\widehat {AMC} = \widehat {MCD}\) ( cùng phụ với góc CMN) (3)
tứ giác EFDC nội tiếp ( 4 điểm E,F,D,C cùng thuộc đường tròn tâm O)
( góc ở ngoài đỉnh bằng góc ở trong của đỉnh đối )
\(\widehat {AEC} = \widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {CDN}\)(4)
từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {MCD} = \widehat {CDN}\)
Do đó, Tứ giác MNDC là hình thang cân.
Vì O thuộc đường trung trực của CD (dễ chứng minh) do đó O cũng thuộc đường trung trực của MN nên OM = ON (đpcm).
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 4x}} + \frac{6}{{6 - 3x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x - 2 + \frac{{10 - {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\).
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi \(\left| x \right| = \frac{3}{4}\).
c) Với giá trị nào của x thì P = 7.
d) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Câu 3:
8 người sơn được 3 cái nhà trong 6 giờ. Hỏi với 12 người sẽ sơn được bao nhiêu cái nhà trong 12 giờ ?
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và CD.
a) CMR: \(\widehat {AMN} = 90^\circ \). Từ đó suy ra bốn điểm A, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh AN và MD.
Câu 6:
Lãi suất tiết kiệm có kì hạn của một ngân hàng là 0,6%. Bác Minh gửi 60000000 đồng tiền tiết kiệm, hỏi sau một tháng bác Minh có bao nhiêu tiền cả tiền vốn và lãi ?
Câu 7:
Tổng của hai số lẻ bằng 64. Tìm 2 số đó,biết rằng giữa chúng có 5 số chẵn liên tiếp.
về câu hỏi!