Từ điểm A nằm ngoài đường tròn O, vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Gọi D là điểm đối xứng với B qua O, vẽ cát tuyến AEF, DE và DF cắt AO tại M và N. Chứng minh rằng OM = ON.

Dễ dàng chứng minh được AO vuông góc BC và BC vuông góc CD, do đó AO song song với CD 

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {CDE}\) (2 góc đồng vị)

Lại có \[\widehat {CDE} = \widehat {ACE}\] (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CE của đường tròn tâm O)

\( \Rightarrow \widehat {EMA} = \widehat {ECA}\)

Do đó, Tứ giác EMCA nội tiếp 

\( \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {CEF} = \widehat {CMN}\) (1)

\( \Rightarrow \widehat {CAM} = \widehat {CEM}\)

Hay \(\widehat {CED} = \widehat {CFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đtròn tâm O)

\(\widehat {CAN} = \widehat {CFN}\)

Do đó, Tứ giác CAFN nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {CFA} = \widehat {CNA} \Rightarrow \widehat {CFE} = \widehat {CNM}\)(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác CEF đồng dạng với tam giác CMN (g.g)

Vì AO song song với CD (cmt) nên MN song song với CD , do đó tứ giác MNDC là hình thang.

\(\widehat {AMC} = \widehat {MCD}\) ( cùng phụ với góc CMN) (3) 

tứ giác EFDC nội tiếp ( 4 điểm E,F,D,C cùng thuộc đường tròn tâm O)

( góc ở ngoài đỉnh bằng góc ở trong của đỉnh đối )

\(\widehat {AEC} = \widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {CDN}\)(4)

từ (3)  và (4) suy ra \(\widehat {MCD} = \widehat {CDN}\)

Do đó, Tứ giác MNDC là hình thang cân.

Vì O thuộc đường trung trực của CD (dễ chứng minh) do đó O cũng thuộc đường trung trực của MN nên OM = ON (đpcm).