Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường tròn (O) sao cho AM < MB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia OM tại S. Đường cao AH của tam giác SAO (H thuộc SO) cắt đường tròn (O) tại D.

1. Chứng minh SD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

2. Kẻ đường kính DE của đường tròn (O). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD và tính độ dài đoạn thẳng AE theo R và r.

3. Cho AM = r. Gọi K là giao điểm của BM và AD. Chứng minh: \(\frac{{M{D^2}}}{6} = KH.KD\).

1.

Xét tam giác OAB có:

OA = OD = R

OH vuông góc với AD

Do đó, tam giác OAD cân tại O có OH là đường cao

Do đó, OH là phân giác của góc \(\widehat {AOD}\)

\( \Rightarrow \widehat {SOA} = \widehat {SOD}\)

Xét tam giác SAO và tam giác SDO có:

KO chung

\(\widehat {SOA} = \widehat {SOD}\)

OA = OD = R

Do đó, tam giác SAO bằng tam giác SDO (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {SDO} = \widehat {SAO} = 90^\circ \)

Hay SD vuông góc với OD

Do đó, SD là tiếp tuyến của (O) tại D.

2,

Xét tam giác OAM có OA = OM

Do đó, tam giác OAM cân tại O

\( \Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {AMH}\)

Mà \(\widehat {OAM} + \widehat {SAM} = \widehat {SAO} = 90^\circ \)

Và \(\widehat {AMH} + \widehat {HAM} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {SAM} = \widehat {HAM}\)

Do đó, AM là đường phân giác của tam giác SAD (1)

Mặt khác SA, SD là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

Do đó, SO là tia phân giác của \(\widehat {ASD}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAD.

Mà MH vuông góc với AD tại H nên MH là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAD.

Do đó, MH = r, OH = R – r

Xét tam giác AOH vuông tại H

Ta có: OA² = OH² + AH² (định lý Py–ta–go)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} \Rightarrow AD = 2\sqrt {{R^2} - {{\left( {R - r} \right)}^2}} \)

Ta có: \(\widehat {EAD}\) chắn đường kính DE \( \Rightarrow \widehat {EAD} = 90^\circ \)

Xét tam giác EAD vuông tại A có:

DE² = AD² + AE² (định lý Py–ta–go)

\( \Rightarrow AE = \sqrt {4{{\left( {R - r} \right)}^2}} = 2\left( {R - r} \right)\).

3.

OH là đường trung trực của AD, M thuộc OH

Do đó, DM = AM = R

Tứ giác AMDO có AM = MD = OA = OD (= R)

Tứ giác AMDO là hình thoi

Do đó, AM song song với DO.

Mà AM vuông góc với BM , BM vuông góc với OD

Tam giác OMD có OM = OD = CD (= R)

Do đó, tam giác OMD đều

Mà MB, DM là hai đường cao cắt nhau tại K của tam giác OMD

Do đó, K là trực tâm của tam giác đều OMD

Do đó, K là trọng tâm của tam giác đều OMD

\(KH = \frac{1}{3}DH;KD = \frac{2}{3}DH \Rightarrow KH.KD = \frac{2}{9}D{H^2}\)

Mà tam giác HMD vuông tại H

Do đó, DH = \(DH = MD.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}MD \Rightarrow MD = \frac{2}{{\sqrt 3 }}DH\)

\( \Rightarrow M{D^2} = 6.\frac{2}{9}D{H^2} = 6.KH.KD \Rightarrow \frac{{M{D^2}}}{6} = KH.KD\).