Cho (O; R) có đường kính AB. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.

a) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

b) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

a) Xét tứ giác AMBN có:

\(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nột tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {MAN} = 90^\circ \) (góc nột tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nột tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

b) Xét đường tròn (O) có:

\(\widehat {MNB} = \widehat {MAB}\) (hai góc nột tiếp cùng chắn cung MB)

\(\widehat {MAB} + \widehat Q = 90^\circ \) (∆ABQ vuông tại B)

\( \Rightarrow \widehat {MNB} + \widehat Q = 90^\circ \)

\(\widehat {MQP} + \widehat {MNP} = \left( {\widehat {MQP} + \widehat {MNB}} \right) + \widehat {BNP} = 180^\circ \)

Xét tứ giác MNPQ có:

\(\widehat {MQP} + \widehat {MNP} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {MQP}\) và \(\widehat {MNP}\) là hai góc đối nhau.

Suy ra MNPQ là tứ giác nột tiếp đường tròn hay M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.