Cho biểu thức \(M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\)

1. Rút gọn M

2. Tìm x để M ≥ 1

3. Tìm GTLN của biểu thức M

1.

\(M = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^6} + 1}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}\)

\( = \frac{{{x^4} + 2}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} - \frac{{{x^2} + 3}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^4} + 2 + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}} - \frac{1}{{{x^2} + 1}}\)

\( = \frac{{{x^4} + 2 + {x^4} - 1 - {x^4} + {x^2} - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\)

2.

M ≥ 1

\(\frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}} \ge 1\)

\({x^2} \ge {x^4} - {x^2} + 1\)

\({x^4} - 2{x^2} + 1 \le 0\)

\({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \le 0\)

\({x^2} - 1 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(tm)\\x = - 1(tm)\end{array} \right.\)

Vậy x = 1 và -1

3. \(\)\(M = \frac{{{x^2}}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}\)

Mx⁴ – Mx² + M = x²

Mx⁴ – (M + 1)x² + M = 0

(M + 1)² – 4M² ≥ 0

M² + 2M + 1 – 4M² ≥ 0

3M² – 2M – 1 ≤ 0

(3M² + 1)(M – 1) ≤ 0

⇒ M ≤ 1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M bằng 1 khi và chỉ khi x = 1.