Cho biểu thức A=54+109+1716+...+25012500 . Chứng minh biểu thức A có giá trị không phải là số nguyên.

Ta có A=54+109+1716+...+25012500 =4+14+9+19+16+116+...+2500+12500. =1+14+1+19+1+116+...+1+12500 =1+122+1+132+1+142+...+1+1502 =49+122+132+142+...+1502 Đặt B=122+132+142+...+1502 =12.2+13.3+14.4+...+150.50. Mà 11.2<12.2; 12.3<13.3; 13.4<14.4;...;149.50<150.50 . Suy ra B<11.2+12.3+13.4+...+149.50 . =2−11.2+3−22.3+4−33.4+...+50−4949.50. =11−12+12−13+13−14+...+149−150. =1−150<1. Mà B > 0 nên 0 < B < 1. Do đó B không phải là số nguyên. Vậy A = 49 + B không phải là số nguyên (điều phải chứng minh).

Câu hỏi:

13/07/2024 2,941

Cho biểu thức $A = \frac{5}{4} + \frac{10}{9} + \frac{17}{16} + ... + \frac{2501}{2500}$ . Chứng minh biểu thức A có giá trị không phải là số nguyên.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $A = \frac{5}{4} + \frac{10}{9} + \frac{17}{16} + ... + \frac{2501}{2500}$

$= \frac{4 + 1}{4} + \frac{9 + 1}{9} + \frac{16 + 1}{16} + ... + \frac{2500 + 1}{2500}$ .

$= (1 + \frac{1}{4}) + (1 + \frac{1}{9}) + (1 + \frac{1}{16}) + ... + (1 + \frac{1}{2500})$

$= (1 + \frac{1}{2^{2}}) + (1 + \frac{1}{3^{2}}) + (1 + \frac{1}{4^{2}}) + ... + (1 + \frac{1}{50^{2}})$

$= 49 + (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{50^{2}})$

Đặt $B = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{50^{2}}$

$= \frac{1}{2.2} + \frac{1}{3.3} + \frac{1}{4.4} + ... + \frac{1}{50.50}$ .

Mà $\frac{1}{1.2} < \frac{1}{2.2}; \frac{1}{2.3} < \frac{1}{3.3}; \frac{1}{3.4} < \frac{1}{4.4}; ...; \frac{1}{49.50} < \frac{1}{50.50}$ .

Suy ra $B < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{49.50}$ .

$= \frac{2 - 1}{1.2} + \frac{3 - 2}{2.3} + \frac{4 - 3}{3.4} + ... + \frac{50 - 49}{49.50}$ .

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{49} - \frac{1}{50}$ .

$= 1 - \frac{1}{50} < 1$ .

Mà B > 0 nên 0 < B < 1.

Do đó B không phải là số nguyên.

Vậy A = 49 + B không phải là số nguyên (điều phải chứng minh).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có hai xe ô tô, mỗi xe chở 4200 kg gạo và 3 xe ô tô, mỗi xe chở 3600 kg gạo. Trung bình mỗi xe chở số ki-lô-gam gạo là

A. 4200 kg;

B. 3600 kg;

C. 3840 kg;

D. 3900 kg.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Trung bình mỗi xe chở số ki-lô-gam gạo là: (4200 × 2 + 3600 × 3) : 5 = 3840 (kg).

Đáp số: 3840 kg.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2

Cho hai tập hợp A = {0; 1}, B = {0; 1; 2; 3; 4}. Số tập X thỏa mãn X là con của C_AB là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có C_AB = A \ B = ∅.

Vậy số tập X thỏa mãn X là con của C_AB là 2⁰ = 1.

Câu 3