Chứng minh bất đẳng thức .a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Xét VT – VP = a2+b2+c2−ab−bc−ca = 122a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca =12a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=12a−b2+a−c2+b−c2 Vì a−b2+a−c2+b−c2≥0 Nên 12a−b2+a−c2+b−c2≥0 Hay a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0 ⇒a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Câu hỏi:

19/08/2025 270

Chứng minh bất đẳng thức . $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét VT – VP = $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a$

= $\frac{1}{2} (2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 c a)$

$= \frac{1}{2} [(a^{2} - 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - 2 a c + c^{2}) + (b^{2} - 2 b c + c^{2})] = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2}]$

Vì ${(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2} \geq 0$

Nên $\frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2}] \geq 0$

Hay $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một lớp có 40 học sinh, trong đó mỗi học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Hóa và Văn, biết rằng có 25 bạn học giỏi môn Hóa, 30 bạn học giỏi môn Văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn?

Xem đáp án

Lời giải

Kí hiệu A và B lần lượt là tập các học sinh học giỏi môn hóa và môn văn.

Ta có A ∪ B = 40. Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

n (A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 30 + 25 – 40 = 15

Vậy có 15 em học giỏi cả 2 môn.

Câu 2

Để lát nền một căn phòng, người ta đã sử dụng hết 200 viên gạch hình vuông có cạnh 40cm. Hỏi căn phòng đó có diện tích bao nhiêu mét vuông, biết diện tích phần mạch vữa không đáng kể?

Xem đáp án

Lời giải

Diện tích của một viên gạch lát nền là:

40 × 40 = 1600 (cm²)

Diện tích căn phòng là:

1600 × 200 = 320000 (cm²) = 32 m²

Đáp số: 32 m².

Câu 3