Chứng minh bất đẳng thức .a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Xét VT – VP = a2+b2+c2−ab−bc−ca = 122a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca =12a2−2ab+b2+a2−2ac+c2+b2−2bc+c2=12a−b2+a−c2+b−c2 Vì a−b2+a−c2+b−c2≥0 Nên 12a−b2+a−c2+b−c2≥0 Hay a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0 ⇒a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Câu hỏi:

30/06/2023 137

Chứng minh bất đẳng thức . $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Xét VT – VP = $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a$

= $\frac{1}{2} (2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 c a)$

$= \frac{1}{2} [(a^{2} - 2 a b + b^{2}) + (a^{2} - 2 a c + c^{2}) + (b^{2} - 2 b c + c^{2})] = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2}]$

Vì ${(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2} \geq 0$

Nên $\frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2}] \geq 0$

Hay $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một lớp có 40 học sinh, trong đó mỗi học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Hóa và Văn, biết rằng có 25 bạn học giỏi môn Hóa, 30 bạn học giỏi môn Văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi cả hai môn?

Xem đáp án

Lời giải

Kí hiệu A và B lần lượt là tập các học sinh học giỏi môn hóa và môn văn.

Ta có A ∪ B = 40. Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

n (A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 30 + 25 – 40 = 15

Vậy có 15 em học giỏi cả 2 môn.

Câu 2

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $5^{x - 1} + 5.0, 2^{x - 2} = 26$ . Tính $x_{1} + x_{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

$5^{x - 1} + 5.0, 2^{x - 2} = 26 \Leftrightarrow 5^{x - 1} + \frac{5}{5^{x - 2}} = 26 \Leftrightarrow 5^{x - 1} + \frac{25}{5^{x - 1}} = 26$

Đặt $5^{x - 1} = a$

$\Rightarrow a + \frac{25}{a} = 26 \Leftrightarrow a^{2} - 26 a + 25 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 1 \\ a = 25 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 5^{x - 1} = 1 \\ 5^{x - 1} = 25 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x - 1 = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \end{matrix} x_{1} + x_{2} = 1 + 3 = 4$

Câu 3