Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ AD là tia phân giác của góc BAC (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\).

b) Tia ED cắt AB tại F. Chứng minh AC = AF.

c) Gọi G là trung điểm của DF; AD cắt CF tại H và cắt CG tại I. Chứng minh DI = 2IH.

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EAD\) có:

AB = AE

\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)

AD là cạnh chung

Do đó \(\Delta ABD = \Delta AED\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\) (2 góc tương ứng)

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AEF\) có:

\(\widehat {FAC}\) là góc chung

AB = AE

\(\widehat {ABC} = \widehat {AEF}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\))

Do đó \(\Delta ABC = \Delta AEF\left( {g.c.g} \right)\)

Suy ra AC = AF (hai cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta AHC\) có:

AH là cạnh chung

\(\widehat {FAH} = \widehat {CAH}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)

AF = AC (cmt)

Do đó \(\Delta AHF = \Delta AHC\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng)

Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của \(\Delta DFC.\)

Xét \(\Delta DFC\) có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại I

Suy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.

Do đó \(IH = \frac{1}{2}ID\) (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay DI = 2IH.

Vậy DI = 2IH.