Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q và đường thẳng BQ cắt AI tại H.

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

b) Chứng minh CH vuông góc AB.

c) Chứng minh tam giác PIQ cân.

a) Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có:

AD = AB

\(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\) (2 góc đối đỉnh)

AC = AE

⇒ \(\Delta ADE = \Delta BAC\left( {c.g.c} \right)\)

⇒ \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (2 góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong với nhau

⇒ BC // DE (đpcm)

b) Xét \(\Delta DAM\) và \(\Delta BAN\) có:

\(\widehat {DAM} = \widehat {BAN}\) (2 góc đối đỉnh)

AD = AB

\(\widehat {ABN} = \widehat {ADM}\) (CMT)

⇒ \(\Delta DAM = \Delta BAN\left( {g.c.g} \right)\)

⇒ AM = AN (2 cạnh tương ứng) (dpcm)

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EAD\) có:

AB = AE

\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)

AD là cạnh chung

Do đó \(\Delta ABD = \Delta AED\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\) (2 góc tương ứng)

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AEF\) có:

\(\widehat {FAC}\) là góc chung

AB = AE

\(\widehat {ABC} = \widehat {AEF}\) (do \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\))

Do đó \(\Delta ABC = \Delta AEF\left( {g.c.g} \right)\)

Suy ra AC = AF (hai cạnh tương ứng)

c) Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta AHC\) có:

AH là cạnh chung

\(\widehat {FAH} = \widehat {CAH}\) (do AD là tia phân giác của góc BAC)

AF = AC (cmt)

Do đó \(\Delta AHF = \Delta AHC\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra HF = HC (hai cạnh tương ứng)

Khi đó H là trung điểm của FC nên DH là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh D của \(\Delta DFC.\)

Xét \(\Delta DFC\) có CG và DH là hai đường trung tuyến, CG và DH cắt nhau tại I

Suy ra I là trọng tâm của tam giác DFC.

Do đó \(IH = \frac{1}{2}ID\) (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay DI = 2IH.

Vậy DI = 2IH.