Cho (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2. Chứng minh rằng: [ frac{1}{{{x^3}}} + frac{1}{{{y^3}}} + frac{1}{{{z^3}}} = frac{3}{{xyz}} ]

Câu hỏi:

04/07/2023 142

Cho (x + y + z)² = x² + y²+ z².

Chứng minh rằng: \[\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: (x + y + z)² = x² + y²+ z²

Û x² + y²+ z²+ 2(xy + yz + zx) = x² + y²+ z²

Û xy + yz + zx = 0

Lại có: \[\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} - \frac{3}{{xyz}}\]

\[ = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} - \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)\]

\[ = \left( {\frac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}} \right)\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} - \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right) = 0\]

Suy ra \[\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\](đpcm)

Vậy \[\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một mảnh đất trong công viên hình chữ nhật có chiều dài 16m và chiều rộng bằng nửa chiều dài. Người ta dự định làm một giàn hoa bên trong mảnh đất đó có hình thoi như hình bên, còn lại sẽ trồng hoa hồng nếu mỗi mét vuông trồng được 4 cây hoa hồng. Hỏi cần bao nhiêu cây hoa hồng để trồng hết phần đất còn lại?

Xem đáp án

Lời giải

Chiều rộng là:

16 : 2 = 8 (m)

Diện tích mảnh đất là:

16 ´ 8=128 (m²)

Số hoa hồng cần trồng là:

128 : 4 = 32 (cây)

Đáp số: 32 cây

Câu 2

Tìm a, b, c để đa thức f(x) = x³ + ax² + bx + c chia hết cho x − 2 và chia cho x² − 1 thì dư 2x.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi q(x); g(x) lần lượt là thương của phép chia f(x) cho x – 2; f(x) cho x² – 1

Þ f(x) = q(x)(x– 2)

Và f(x) = g(x)(x² – 1) + 2x

Þ f(2) = 8 + 4a + 2b + c = 0

f(1) = 1 + a + b + c = 2

f(–1) = – 1 + a – b + c = –2

Từ các hệ thức trên ta tìm được:

\[a = \frac{{10}}{3}\]; b = 1; \[c = \frac{{10}}{3}\]

Câu 3