Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.

Lời giải

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \overrightarrow {ME} \)

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} = ME} \right| \ge EF\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó \(GP = PE = \frac{1}{2}GE\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BP,GP = \frac{1}{3}BP\)

Ta có: BE = BP + PE

Hay \(BE = BP + \frac{1}{3}BP = \frac{4}{3}BP\)

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

\(\widehat {FBE}\) là góc chung;

\(\widehat {BQP} = \widehat {BF{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{BP}}{{BE}} = \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{3}{4}\)

Hay \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \)

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)

Mà \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \)

Ta có \(\overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} \)

Do đó \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \)

Vậy \[{\rm{x}} = \frac{5}{6}\] thì độ dài của \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \) đạt giá trị nhỏ nhất.