Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.
Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm của tam giác ABC
Nối E với G; O với D
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(MG = \frac{1}{3}MB\)
Vì E là trọng tâm của tam giác ACD nên \(ME = \frac{1}{3}MD\)
Xét tam giác DMB có \(\frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{ME}}{{M{\rm{D}}}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)
Suy ra EG // AB (Định lí Ta lét)
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao của 3 đường trung trực
Suy ra OD là đường trung trực của AB
Do đó OD ⊥ AB
Mà EG // AB, suy ra EG ⊥ OD (1)
Xét tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đồng thời là đường trung tuyến
Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác)
Suy ra AO trùng với AG
Hay A; O; G thẳng hàng.
Mặt khác AO ⊥ BC (vì AO là đường trung trực của đoạn BC)
DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC)
Suy ra AO ⊥ BC hay OG ⊥BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra OD và OG là hai đường cao của tam giác DEG
Mà OD cắt OG tại O, suy ra O là trực tâm của tam giác DEG
Do đó OE ⊥ DG hay OE ⊥ DC
Vậy OE ⊥ DC.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
a) Xét tam giác ABC có O, I lần lượt là trung điểm của AB, AC
Suy ra OI là đường trung bình
Do đó OI // BC
b) Vì C thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC nội tiếp (O)
Suy ra tam giác ABC vuông tại C
Xét (O) có AC là dây cung; I là trung điểm của AC
Suy ra OI là trung trực của AC
Mà D ∈ OI nên DA = DC
Xét ∆ADO và ∆CDO có
DA = DC (chứng minh trên)
DO là cạnh chung
OA = OC
Suy ra ∆ADO = ∆CDO (c.c.c)
Do đó \(\widehat {A{\rm{D}}O} = \widehat {AC{\rm{O}}}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {A{\rm{D}}O} = 90^\circ \), hay AO ⊥ AD
Mà AO là bán kính của (O)
Do đó DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
c) Ta có CO ⊥ CD, BK ⊥ CD
Suy ra CO // BK (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Do đó \(\widehat {OCB} = \widehat {CBK}\) (hai góc so le trong)
Mà \(\widehat {CBO} = \widehat {OCB}\) nên \(\widehat {CBO} = \widehat {CKB}\)
Xét ∆BCH và ∆BCK có
\(\widehat {BHC} = \widehat {BKC}\left( { = 90^\circ } \right)\);
BC là cạnh chung;
\(\widehat {CBO} = \widehat {CKB}\) (chứng minh trên)
Suy ra ∆BCH = ∆BCK (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó CH = CK
Xét tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có CH2 = HA . HB
Suy ra CK2 = HA . HB.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Lời giải
Dựng hình bình hành AGCE
Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \overrightarrow {ME} \)
Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)
Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} = ME} \right| \ge EF\)
Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F
Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC
Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC
Suy ra P là trung điểm của GE
Do đó \(GP = PE = \frac{1}{2}GE\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến
Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BP,GP = \frac{1}{3}BP\)
Ta có: BE = BP + PE
Hay \(BE = BP + \frac{1}{3}BP = \frac{4}{3}BP\)
Xét ∆BPQ và ∆BEF có
\(\widehat {FBE}\) là góc chung;
\(\widehat {BQP} = \widehat {BF{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)
Suy ra (g.g)
Do đó \(\frac{{BP}}{{BE}} = \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{3}{4}\)
Hay \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \)
Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)
Suy ra Q là trung điểm của CH
Hay \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)
Mà \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \)
Ta có \(\overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} \)
Do đó \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \)
Vậy \[{\rm{x}} = \frac{5}{6}\] thì độ dài của \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập