Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm AB, K là điểm đối xứng với H qua điểm I.

a) Tứ giác ACHI là hình gì ? Vì sao?

b) Tứ giác AHBK là hình gì ? Vì sao?

c) Nếu tam giác ABC đều thì ACHI là hình gì?

d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHBK là hình vuông.

Lời giải

a) Xét tam giác ABH vuông tại H có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(HI = \frac{1}{2}AB\)

Mà \(AI = BI = \frac{1}{2}AB\)

Do đó BI = IH

Hay tam giác IBH cân tại I

Suy ra \(\widehat {IBH} = \widehat {IHB}\)

Mà \(\widehat {IBH} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác ABC cân tại A)

Do đó \(\widehat {ACB} = \widehat {IHB}\)

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IH // AC

Do đó IHCA là hình thang

b) Xét tứ giác AHBK có

I là trung điểm của AB và HK

AB và HK là hai đường chéo

Suy ra AHBK là hình bình hành

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Suy ra AHBK là hình chữ nhật

c) Nếu tam giác ABC đều thì AB = AC = BC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\)

Suy ra HIAC là hình thang cân

d) Để hình chữ nhật AHBK là hình vuông

⇔ AH = BH

\( \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}BC\)

\( \Leftrightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)

⇔ Tam giác ABC vuông cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân thì AHBK là hình vuông.