Cho một hình chữ nhật và một hình thoi (như hình vẽ), đường chéo EK và FH của hình thoi lần lượt bằng chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật ABCD, biết hình chữ nhật ABCD có chiều dài gấp đôi chiều rộng và có diện tích bằng 32 m². Tính diện tích hình thoi EFKH.

Lời giải

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {A{\rm{E}}} = \overrightarrow {ME} \)

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {ME} = ME} \right| \ge EF\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó \(GP = PE = \frac{1}{2}GE\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BP,GP = \frac{1}{3}BP\)

Ta có: BE = BP + PE

Hay \(BE = BP + \frac{1}{3}BP = \frac{4}{3}BP\)

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

\(\widehat {FBE}\) là góc chung;

\(\widehat {BQP} = \widehat {BF{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{BP}}{{BE}} = \frac{{BQ}}{{BF}} = \frac{3}{4}\)

Hay \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} \)

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay \(\overrightarrow {HQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)

Mà \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \)

Ta có \(\overrightarrow {BQ} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {HC} = \frac{5}{6}.\frac{3}{4}\overrightarrow {BC} = \frac{5}{8}\overrightarrow {BC} \)

Do đó \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{3}\overrightarrow {BQ} = \frac{5}{6}\overrightarrow {BC} \)

Vậy \[{\rm{x}} = \frac{5}{6}\] thì độ dài của \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} \) đạt giá trị nhỏ nhất.